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Zerlegung in Linearfaktoren

Linearfaktorzerlegung – online lernen

Durch das Zerlegen in Linearfaktoren (auch Faktorisierung genannt) kannst du Summen und Differenzen in ein Produkt verwandeln. Dadurch kannst du häufig deutlich einfacher weiterrechnen.

Wiki zum Thema: Zerlegung in Linearfaktoren

Quadratische Funktionen

Linearfaktorzerlegung

Wenn man die Schnittpunkte

x_{1}

und

x_{2}

einer quadratischen Funktion mit der

x

-Achse (Nullstellen genannt) kennt, dann lässt sich die Funktionsgleichung folgendermaßen aufschreiben:

f (x) = y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

oder, wenn $a = 1$ ist,

f (x) = y = (x - x_{1}) (x - x_{2})

Die beiden in den Klammern stehenden Terme

(x - x_{1})

und

(x - x_{2})

nennt man Linearfaktoren. Die Nullstellen bestimmt man durch Nullsetzen der allgemeinen Form und Lösen der entstandenen quadratischen Gleichung.

Beispiel 1:

Eine quadratische Funktion mit der Gleichung $y = x^{2} - 5 x + 6$
hat die beiden Nullstellen $N_{1} = (2 | 0)$ und $N_{2} = (3 | 0)$ .
Gib ihre Funktionsgleichung mit Linearfaktoren an.

Lösung:

Die Gleichung lautet

y = (x - 2) (x - 3)

Beispiel 2:

Eine quadratische Funktion mit der Gleichung $y = {- 2 x}^{2} + 2 x + 40$
hat die beiden Nullstellen $N_{1} = (- 4 | 0)$ und $N_{2} = (5 | 0)$ .
Gib ihre Funktionsgleichung mit Linearfaktoren an.

Lösung:

Die Gleichung lautet

y = - 2 (x + 4) (x - 5)

Arbeitsblätter

Zerlegung in Linearfaktoren

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 6825

Quadratische Gleichung

Schwierigkeitsgrad: 1

Zerlegung in Linearfaktoren

Serie 03

Aufgabe 1

Gegeben sind die Nullstellen zu einer quadratischen Gleichung der Normalform:

f (x) = x^{2} + p \cdot x + q

Bestimme die dazugehörige Linearfaktordarstellung.

a) $x_{1} (4 / 0); x_{2} (6 / 0)$		$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$
b) $x_{1} (0 / - 3); x_{2} (0 / 9)$		$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$
c) $x_{1} (0 / - 2); x_{2} (0 / 5)$		$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$
d) $x_{1} (0 / 2); x_{2} (0 / - 7)$		$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$
e) $x_{1} (0 / 0, 5); x_{2} (0 / 0, 6)$		$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$
f) $x_{1} (0 / 1, 5); x_{2} (0 / - 15)$		$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$

Aufgabe 2

Vereinfache die folgenden Terme.

a) $f (x) = 2 (x - 2) (x + 3)$	d) $f (x) = (x + 12) (x - 13)$
b) $f (x) = (x - 9) (x - 4)$	e) $f (x) = 4 (x - 1, 5) (x + 1)$
c) $f (x) = 5 (x + 1) (x + 3)$	f) $f (x) = (x - 9) (x - 3)$

Aufgabe 3

Wandle die quadratische Gleichung in Linearfaktoren um. (Tipp: Berechne zunächst die Nullstellen.)

a) $x^{2} - 40 x + 111 = 0$	$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$
b) $x^{2} + 58 x + 841 = 0$	$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$
c) $x^{2} - 23 x = - 90$	$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$
d) $x^{2} - 17 x = - 60$	$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$
e) $x^{2} - 0, 4 x + 1, 6 = 0$	$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$

f) $x^{2} + x + 0, 25 = 0$	$L i n e a r f a k t o r : f (x) = (x \underline{}) (x \underline{})$

Zerlegung in Linearfaktoren

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 679

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 6826

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 680

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 6827

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 681

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