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Quadratische Ergänzung Übungen – online lernen

Die Quadratische Ergänzung hilft dir weiter, wenn du eine quadratische Gleichung hast, die du so nicht einfach in eine binomische Formel zurückführen kannst, um sie zu berechnen. Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung wird das dann funktionieren.

Wiki zum Thema: Rechnerisches Lösen III: Quadratische Ergänzung

Quadratische Funktionen

Achsenschnittpunkte


Jede quadratische Funktion schneidet die y-Achse einmal im Punkt Sy(0|c) (oder (0|q)). Den Wert (oder q) kann man aus der Gleichung ablesen.

f(x)=ax2+bx+c

y=ax2+bx+c

f(x)=x2+px+q

y=x2+px+q

Die x-Achse kann keinmal, einmal oder zweimal geschnitten werden. Diese Stellen nennt man auch Nullstellen, da es die Stellen sind, an denen der Funktionswert (y) Null ist.

In der Zeichnung hat die grüne Parabel eine Nullstelle, die rote keine und die blaue zwei.

Die Nullstellen bestimmt man, indem man die Funktionsgleichung mit 0 gleichsetzt und die entstandene quadratische Gleichung löst.


Beispiel: Bestimme die Achsenschnittpunkte der Parabel f(x)=x24x+3.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet Sy(0|3). Die Gleichung 0=x24x+3 wird mit Mitternachts- oder pq-Formel gelöst und hat die Lösungen x1=3 und x2=1. Die Nullstellen lauten daher N1(1|0) und N2(3|0).

Quadratische Gleichungen

Quadratische Ergänzung

Gemischt-quadratische Gleichungen kann man nicht ohne Weiteres nach der Variablen (meistens x

) auflösen.

Entweder man verwendet eine der Lösungsformeln oder man wendet die quadratische Ergänzung an. Dabei werden die beiden Summanden, welche die Variable enthalten, so um das Quadrat einer Zahl ergänzt, dass eine binomische Formel entsteht. Der Wert, der als Quadrat ergänzt (und dann auch wieder subtrahiert) werden muss, ist immer die Hälfte der Zahl, die vor dem linearen Term (also der Zahl mit x

ohne Quadrat) steht.

Beispiel anhand der Funktion f(x)=x2+8x+12

:

0=x2+8x+12QuadratischeErgänzung0=x2+8x+4242+12UmwandelninbinomischeFormel0=(x+4)216+120=(x+4)24+44=(x+4)2+pm2=x+44±24=x1;22=x16=x2

Die Lösungsmenge lautet also L={6;2}.

Beachte: Wurzeln lassen sich nur aus Zahlen 0

ziehen.
Eine Gleichung x2=a
für a>0
hat außerdem immer zwei Lösungen, nämlich a
und +a
.
Beides muss man beim Schritt, in dem die Wurzel gezogen wird, bedenken.



Beispielaufgabe:

Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung 10=2x212x?


Lösung:

10=2x212x:25=x26xQuadratischeErgänzung5=x26x+3232UmwandelninbinomischeFormel5=(x3)29+94=(x3)2+±2=x3+3±2+3=x1;25=x11=x2

Die Lösungsmenge lautet also L={1;5}.

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Ergänzung mit Walter lang
Webinar: Quadratische Funktionen und Gleichungen
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