Mathematik - Gleichungen lösen
Wenn du wissen willst, wie man Gleichungen mit x löst, dann bist du hier genau richtig. Steig direkt ins Thema ein.
Gleichungen lösen: einfache Erklärungen und Beispiele
In Mathe musst du oft Gleichungen lösen – lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen, komplexe Gleichungen mit mehreren Variablen … Hier zeigen wir dir viele Beispiele und weiterführende Erklärungen, damit du alles genau verstehst.
Was bedeutet „Gleichungen lösen“?
Du erkennst eine Gleichung am Gleichheitszeichen:
\( = \)
Sie heißt Gleichung, weil beide Seiten den gleichen Wert haben müssen. Zum Beispiel so:
\( 7 = 7 \)
Aber auch das hier ist eine Gleichung:
\( 3 + 4 = 7 \)
Wenn die Werte auf beiden Seiten nicht gleich sind, musst du stattdessen ein Ungleichheitszeichen verwenden:
\( 3 ≠ 7 \)
Wenn wir Gleichungen lösen wollen, dürfen wir verschiedene Rechenoperationen durchführen.
Wichtig ist dabei: Wir müssen auf beiden Seiten immer dasselbe tun. Sonst wären die Werte auf beiden Seiten nicht gleich und wir hätten keine Gleichung mehr!
Beim Lösen von Gleichungen in Mathe müssen wir auf beiden Seiten immer dieselbe Rechenoperation durchführen.
Man sagt auch: Wir „formen die Gleichung um“. Der Fachbegriff dafür lautet „Äquivalenzumformungen“.
Welche Rechenoperationen das sind, schauen wir uns gleich noch genauer an. Du kannst dir schon einmal merken, dass wir die Äquivalenzumformungen, die wir durchführen, immer hinter einem geraden Strich am Ende der Gleichung schreiben. So können andere nachvollziehen, was wir genau gemacht haben.
Hier ein kleines Beispiel:
\( 5 = 5 \)
Wir addieren jetzt auf beiden Seiten eine Zahl:
\( 5 = 5 | +3 \)
\( 5 + 3 = 5 + 3 \)
\( 8 = 8 \)
Noch immer haben wir eine Gleichung vor uns, denn wir haben auf beiden Seiten dasselbe gemacht.
Wenn es darum geht, eine Gleichung zu lösen, dann ist damit fast immer gemeint, dass wir eine Gleichung nach \( x \) lösen. Dabei ist \( x \) eine Variable, also eine Zahl, die wir nicht kennen - aber ausrechnen wollen.
Es gibt viele mögliche Variablen. Statt \( x \) könnte in der Gleichung, die du lösen sollst, auch \( y \) oder \( a \) oder \( z_2 \) stehen. Gerade wenn es darum geht, einfache Gleichungen zu lösen, hast du als Variable aber meist \( x \).
Schauen wir uns jetzt Beispiele zum Lösen von Gleichungen an.
Beispiel 1: einfache Gleichungen mit x lösen
Schau dir diese Gleichung an:
\( x - 5 = 10 \)
Wenn wir eine Gleichung nach \( x \) auflösen sollen, dann ist unser Ziel immer, dass wir die Variable allein auf eine Seite bringen, sodass wir das Ergebnis auf der anderen Seite ablesen können.
Welche Rechenoperation müssen wir hier als auf beiden Seiten durchführen, damit auf der linken Seite \( -5 \) verschwindet? Wir addieren \( 5 \) hinzu, denn \( -5 + 5 \) ergibt null:
\( x - 5 = 10 | +5 \)
\( x - 5 + 5 = 10 + 5 \)
Das können wir jetzt noch vereinfachen:
\( x = 15 \)
Und schon haben wir unsere erste mathematische Gleichung gelöst.
Du darfst alle Grundrechenarten anwenden, um Gleichungen zu lösen.
Außerdem darfst du viele weitere Rechenoperationen verwenden, zum Beispiel die Wurzel ziehen, potenzieren, den Logarithmus oder eine Exponentialfunktion anwenden.
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Beispiel 2: lineare Gleichungen lösen
Lineare Gleichungen haben allgemein die Form \( a \cdot x + b = 0 \). So können sie zum Beispiel aussehen:
\( 3x + 21 = 0 \)
\( -2x + 18 = 0 \)
Schauen wir uns an, wie das Lösen von linearen Gleichungen funktioniert:
\( 3x + 21 = 0 \)
Zuerst wollen wir die Variablen allein auf eine Seite bringen. Dabei stört uns die \( 21 \). Also ziehen wir sie auf beiden Seiten ab:
\( 3x + 21 = 0 | -21 \)
\( 3x = -21 \)
Jetzt haben wir \( x \) allein auf einer Seite. Wir wollen aber nicht herausfinden, welchen Wert \( 3x \) hat, sondern wir wollen den Wert für ein einzelnes \( x \) wissen. Deshalb teilen wir auf beiden Seiten durch \( 3 \):
\( 3x = -21 | \div 3 \)
\( x = -7 \)
Die Gleichung ist gelöst. Wir schreiben noch die Lösungsfrage auf:
\( L = {\{-7}\} \)
Schauen wir uns auch die zweite Gleichung an:
\( -2x + 18 = 0 \)
So rechnen wir:
\( -2x + 18 = 0 | -18 \)
\(-2x = -18 | \div 2 \)
\( -x = -18 \)
Da wir ja \( x \) und nicht - \( -x \) herausfinden wollen, multiplizieren wir noch mit \( -1 \):
\( -x = -18 | \cdot (-1) \)
\( x = 18 \)
Und so lautet die Lösungsmenge:
\( L = {\{18}\} \)
Beispiel 3: Gleichungen lösen mit Klammern
Das Lösen von Gleichungen mit Klammern funktioniert genauso, wie du es bisher gelernt hast. Du musst einfach zusätzlich die Klammern auflösen.
\( -3 \cdot (x + 5) = 2x - 12 \)
Wir lösen zuerst auf der linken Seite die Klammer auf. Dazu wenden wir das Distributivgesetz an.
\( -3x - 15 = 2x - 12 \)
Jetzt bringen wir wie gewohnt die Variable allein auf eine Seite.
\( -3x - 15 = 2x - 12 | -2x \)
\( -5x - 15 = -12 | +15 \)
\( -5x = 3 \)
Jetzt wollen wir die Gleichung so umformen, dass wir den Wert für ein einzelnes \( x \) herausfinden:
\( -5x = 3 | \div 5 \)
\( -x = \frac 35 | \cdot (-1) \)
\( x = - \frac 35 \)
Und unsere Lösungsmenge lautet:
\( L = {\{- \frac 35}\} \)
Beispiel 4: komplexe Gleichungen lösen mit Potenzen
Wenn du Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen sollst, musst du oft verschiedene Rechenarten kombinieren. Schauen wir uns daher ein komplexes Beispiel an:
\( 3 \cdot (x^2 - 7) = 5 \cdot (1 - x^2) \)
Wir lösen zuerst die Klammern auf:
\( 3x^2 - 21 = 5 - 5x^2 \)
Dann bringen wir die Variable allein auf eine Seite:
\( 3x^2 - 21 = 5 - 5x^2 | + 5x^2 \)
\( 8x^2 - 21 = 5 | + 21 \)
\( 8x^2 = 26 \)
Wir reduzieren auf genau ein \( x^2 \):
\( 8x^2 = 26 | \div 8 \)
\( x^2 = \frac {26}{8} \)
Das können wir noch kürzen:
\( x^2 = \frac {13}{4} \)
Da wir nicht \( x^2 \), sondern nur \( x \) ermitteln wollen, müssen wir die Potenz auflösen. Das tun wir, indem wir die Quadratwurzel ziehen:
\( x^2 = \frac{13}{4} | \sqrt \ \)
\( x = \sqrt \frac{13}{4} \)
Aber Vorsicht! Es gibt noch eine weitere Lösung. Denn wenn wir \( - \sqrt \frac{13}{4} \) hoch zwei rechnen, also mit sich selbst malnehmen, erhalten wir ebenfalls \( \frac{13}{4} \). Deshalb gibt es zwei Lösungen. Wir schreiben:
\( x_1 = \sqrt \frac {13}{4} \)
\( x_2 = -\sqrt \frac{13}{4} \)
Und so sieht die Lösungsmenge aus:
\( L = {\{- \sqrt \frac {13}{4} \ ; \ \sqrt \frac{13}{4}} \} \)
Wir haben eine ganze Seite zum Lösen von quadratischen Gleichungen für dich. Bei quadratischen Gleichungen kannst du meist nicht einfach nur die Wurzel ziehen, da nicht nur ein \( x^2 \), sonder auch ein \( x \) vorkommt. Hier helfen dir die p-q-Formel und die Mitternachtsformel weiter.
Beispiel 5: Lösen von Gleichungen 3. Grades
Du kannst Gleichungen dritten Grades ganz leicht lösen, wenn nur ein \( x^3 \) vorkommt, wie in diesem Beispiel:
\( 5x^3 = 625 | \div 5 \)
\( x^3 = 125 \)
Um von \( x^3 \) auf \( x \) zu kommen, müssen wir die dritte Wurzel ziehen. Natürlich auf beiden Seiten:
\( x^3 = 125 | \sqrt[3] \ \)
\( x = \sqrt[3]125 = 5 \)
Unsere Lösungsmenge ist: \( L = {\{5}\} \)
So kannst du einfach kubische Gleichungen lösen.
Wenn aber in deiner Gleichung \( x^3 \) und \( x^2 \) oder \( x \) vorkommen, wird es schwieriger. Dann musst du zuerst - zum Beispiel mittels Polynomdivision - deine Gleichung so umformen, dass du wieder wie beim Lösen von quadratischen Gleichungen vorgehen kannst.
Beispiel 6: Gleichungen mit Brüchen lösen
Wenn du Gleichungen mit einem Bruch lösen sollst, kannst du das oft erreichen, indem du die Brüche mit den Nennern multiplizierst. Damit lösen sich die Brüche auf.
Hier ein Beispiel dazu:
\( \frac 35 \ x - \frac 13 \ x = 4 \)
Da uns die Brüche hier stören, lösen wir sie auf, indem wir mit dem Nenner malnehmen. Wir beginnen mit dem Nenner des ersten Bruchs:
\( \frac 35 \ x - \frac 13 \ x = 4 | \cdot 5 \)
\( \frac {3 \cdot 5}{5} \ x - \frac {1 \dot 5 }{3} \x = 4 \cdot 5 \)
Im ersten Bruch kürzt sich dadruch die \( 5 \) weg und wir haben ihn vereinfacht:
\( 3x - \frac 53 \ x = 20 \)
Das wiederholen wir jetzt für den zweiten Bruch:
\( 3x - \frac 53 \ x = 20 | \cdot 3 \)
\( 3 \cdot 3x - \frac {5 \cdot 3}{3} \ x = 20 \cdot 3 \)
Wir vereinfachen:
\( 9x - 5x = 60 \)
\( 4x = 60 | \div 4 \)
\( x = 15 \)
Unsere Lösungsmenge lautet:
\( L = {\{15}\} \)
Wenn Variablen im Nenner vorkommen, ist es nicht so einfach, diese mathematischen Gleichungen zu lösen. Dann handelt es sich um Bruchgleichungen. Da der Nenner in einem Bruch niemals null werden darf, musst du zuerst einen Definitionsbereich festlegen, um solche Gleichungen mit Bruch zu lösen. Das lernst du in höheren Klassen.
Gleichungen mit 2 Variablen lösen
Später wirst du schwierigere Gleichungen mit 2 Unbekannten Lösen – oder sogar noch mehr Variablen. Das Lösen solcher Gleichungen durch Umformen ist immer noch möglich, aber aufwendiger. Du hast es dann mit linearen Gleichungssystemen zu tun.
Diese Verfahren helfen dir, Gleichungen mit mehreren Variablen zu lösen:
- das Einsetzungsverfahren
- das Additionsverfahren
- das Gleichsetzungsverfahren
- der Gauß-Algorithmus
Eine weitere Möglichkeit ist grafisches Lösen von Gleichungen. Hast du zum Beispiel zwei lineare Gleichungen und suchst für beide eine gemeinsame Lösung, dann wird diese Lösung genau durch die Schnittpunkte der beiden Geraden (Graphen) der linearen Funktionen bestimmt.
Kompliziertere Aufgaben zum Lösen von Gleichungen
Hier findest du eine kleine Übersicht dazu, welche Aufgaben zum Lösen von Gleichungen dir noch begegnen können und wie du dabei vorgehen kannst:
- Lösen von trigonometrischen Gleichungen: Nutze die Umkehrfunktionen Arkussinus, Arkuscosinus und Arkustangens, um die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion aufzulösen. Außerdem solltest du die Kettenregel kennen, wenn du Gleichungen mit Sinus etc. lösen sollst, in denen du ableiten musst.
- Gleichungen mit der e-Funktion lösen: Nutze die Umkehrfunktion, die ln-Funktion, um die e-Funktion aufzulösen.
- Gleichungen mit Logarithmen lösen: Die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion ist die Exponentialfunktion. Somit kannst du diese verwenden, um Logarithmen aufzulösen.
Zusammenfassung: Gleichungen lösen – einfache Erklärung
- Wenn du in Mathematik Gleichungen lösen sollst, ist damit meist gemeint, dass du sie nach einer Variablen (oft \( x \) ) auflösen sollst.
- Dazu darfst du verschiedene Umformungen, sogenannte Äquivalenzumformungen, vornehmen, um die Gleichung nach x umzustellen. Am Ende kannst du den Wert der Variablen einfach ablesen.
- Das Lösen von Gleichungen mit Klammern funktioniert nach demselben Prinzip. Du beginnst damit, dass du die Klammern auflöst, und rechnest dann wie gewohnt weiter.
- Für das Lösen quadratischer oder kubischer Gleichungen brauchst du andere Vorgehen. Für quadratische Gleichungen gibt es Formeln wie die Mitternachtsformel. Kubische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades kannst du zum Beispiel durch Polynomdivision so umformen, dass du diese Formeln anwenden kannst.
- Oft sind die Umkehrfunktionen hilfreich, um Gleichungen zu lösen – zum Beispiel die Exponentialfunktion, um einen Logarithmus aufzulösen.
Was macht eine Gleichung aus?