Nullstellen berechnen

Wenn du im Matheunterricht mit Funktionen arbeitest, wirst du früher oder später sicher auch die Nullstellen verschiedener Funktionen bestimmen müssen. Die Nullstellen zu berechnen ist außerdem ein wichtiger Teil der Kurvendiskussion: Hier brauchst du die Nullstellen gleich für mehrere der Schritte. Doch was sind Nullstellen überhaupt?

Als Nullstellen bezeichnet man die Stellen, an denen der Graph einer Funktion die x$x$-Achse schneidet, an denen also f(x)=0$f(x)=0$ ist. Deswegen kannst du die Nullstellen auch berechnen, indem du die Funktion gleich Null setzt und dann nach x$x$ auflöst. Dargestellt im Graphen, sieht das so aus:

Diese Funktion heißt f(x)=x2–1$f(x)=x^2–1$. Du siehst im Graphen, dass sie Nullstellen bei x=1$x=1$ und x=–1$x=–1$ hat. Schauen wir uns jetzt an, wie wir bei verschiedenen Funktionen vorgehen, um Nullstellen zu bestimmen.

Für alle Funktionen gilt: Grundsätzlich musst du die Gleichung der Funktion gleich Null setzen, um die Nullstellen zu bestimmen. Für manche Funktionen ist dieser Prozess sehr einfach, bei anderen musst du etwas mehr rechnen. Hier eine Übersicht, was zu tun ist:

• lineare Funktionen: Diese kannst du einfach per Äquivalenzumformung nach x$x$ auflösen.
• quadratische Funktionen: Meist wirst du diese mit der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel lösen.
• ganzrationale Funktionen höheren Grades: Diese kannst du durch Ausklammern von x$x$ oder durch Polynomdivision auf ihre Nullstellen untersuchen.
• e-Funktion: Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen. Um die e-Funktion in Kombination mit einer anderen Funktion oder konstanten Zahlen auf Nullstellen zu prüfen, können wir den Satz des Nullprodukts oder den natürlichen Logarithmus nutzen. Dazu erfährst du unten mehr. 

Das ist noch ziemlich abstrakt, oder? Deswegen schauen wir uns jetzt zu allen vier Fällen Beispiele an!

Da eine lineare Funktion als Graph eine Gerade hat, wissen wir bereits: Es kann nur eine Nullstelle geben. Diese können wir mithilfe von Äquivalenzumformungen relativ leicht berechnen.

Beispiel:

f(x)=3x+6$f(x)=3x+6$

Wir setzen die Gleichung gleich Null:

3x+63xx=0=−6=−63=−2|−6|:3$\begin{array}{rlrl}3x+6& =0& & |-6\\ 3x& =-6& & |:3\\ x& =-\frac{6}{3}=-2\end{array}$

So schnell haben wir herausgefunden: Unsere lineare Funktion hat eine Nullstelle bei x=–2$x=–2$.

Auch die Nullstellen quadratischer Funktionen sind nicht schwer zu berechnen. Einfache quadratische Funktionen kannst du direkt nach Null auflösen.

Beispiel:

f(x)=x2−4$f(x)=x^2-4$

x2−4x2x1x2=0=4=4–√=2=−4–√=−2|+4|√$\begin{array}{rlrl}{x}^2-4& =0& & |+4\\ x^2& =4& & |\sqrt{}\\ x_1& =\sqrt{4}=2\\ x_2& =-\sqrt{4}=-2\end{array}$

Unsere Funktion hat also zwei Nullstellen, und zwar bei x1=2$x_1=2$ und x2=–2$x_2=–2$.

Wenn die quadratische Funktion ein quadratisches und ein lineares Glied enthält, brauchen wir zum Lösen die p-q-Formel oder die Mitternachtsformel. Dabei gilt:

• Wenn vor dem x2$x^2$ kein Vorfaktor steht, kannst du wählen, welche Formel du anwenden möchtest.
• Wenn vor dem x2$x^2$ ein Vorfaktor steht (zum Beispiel 3x2${3x}^2$), musst du entweder die Mitternachtsformel benutzen, oder du bringst die Gleichung zunächst in die Normalform ohne Vorfaktor, um dann die p-q-Formel anzuwenden.

Beispiel:

f(x)=x2−6x+5$f(x)=x^2-6x+5$

Wir setzen die Gleichung gleich Null:

x2−6x+5=0$x^2-6x+5=0$

Wir wenden die p-q-Formel an und erhalten als Lösungen:

x1=5$x_1=5$
x2=1$x_2=1$

Wenn du das noch nicht verstanden hast, frische gern deine Kenntnisse über die p-q-Formel oder die Mitternachtsformel auf.

Wenn die höchste Potenz deiner Gleichung mindestens 3$3$ (wie in x3$x^3$) ist, genügen die bisherigen Verfahren nicht mehr, um die Nullstellen zu ermitteln. Du hast hier die Wahl zwischen verschiedenen Vorgehensweisen, je nachdem, wie deine Gleichung aussieht.

Beispiel:

f(x)=x3−2x2−3x$f(x)=x^3-{2x}^2-3x$

In dieser Gleichung enthält jeder Term ein x$x$. Das gibt uns die Möglichkeit, ein x$x$ auszuklammern und so eine einfachere Lösung für das Finden der Nullstellen zu nutzen. Wir setzen die Gleichung gleich Null und klammern aus:

x3−2x2−3xx(x2−2x−3)=0=0$\begin{array}{rl}{x}^3-{2x}^2-3x& =0\\ x(x^2-2x-3)& =0\end{array}$

Da es sich um ein Produkt handelt (aus den zwei Faktoren x$x$ und (x3−2x2−3x$x^3-{2x}^2-3x$), erhalten wir insgesamt die Lösung Null, wenn einer der beiden Faktoren Null wird. Das nennt man auch den Satz des Nullprodukts. Daher erkennen wir nun zwei Dinge:

1. Wenn x=0$x=0$ wird, erhalten wir eine Nullstelle, denn dann wird die Klammer mit Null multipliziert.
2. Wenn die Gleichung in der Klammer Null wird, erhalten wir ebenfalls eine Nullstelle. Diese Gleichung können wir wiederum wie im vorherigen Abschnitt mithilfe der p-q-Formel auf Nullstellen prüfen. 

Mithilfe der p-q-Formel finden wir heraus, dass für die Gleichung in der Klammer gilt:

x1=−1$x_1=-1$
x2=3$x_2=3$

Und darüber hinaus wissen wir bereits:

x3=0$x_3=0$

Die Nullstellen können wir auch im Graphen der Funktion wunderbar erkennen:

Somit haben wir drei Nullstellen gefunden – das ist auch die maximale Anzahl an Nullstellen, die eine ganzrationale Funktion höheren Grades haben kann.

Doch was passiert, wenn wir x$x$ nicht ausklammern können, weil in der Gleichung ein Term ohne x$x$ enthalten ist? In diesem Fall müssen wir die Polynomdivision nutzen.

Beispiel:

f(x)=x3−6x2+11x−6$f(x)=x^3-{6x}^2+11x-6$

Wir setzen die Gleichung gleich Null:

x3−6x2+11x−6=0$x^3-{6x}^2+11x-6=0$

Um die Polynomdivision nutzen zu können, müssen wir zunächst herausfinden, wodurch wir teilen können, um wieder eine ganzrationale Funktion zu erhalten. Dazu müssen wir eine Nullstelle erraten. Das tun wir, indem wir die Teiler des Absolutglieds als Nullstellen überprüfen. Das Absolutglied ist der Teil der Gleichung, der kein x$x$ enthält – hier also –6$–6$. Die Teiler von –6$–6$ lauten:

±1,±2,±3,±6$\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$

Diese setzen wir nun nacheinander für x$x$ ein und prüfen, ob wir als Ergebnis Null erhalten. Wir haben Glück: Schon beim ersten Teiler (1)$(1)$ gelingt uns das:

f(1)=13−6⋅12+11⋅1−6=1−6+11−6=0$\begin{array}{rl}f(1)& =1^3-6\cdot 1^2+11\cdot 1-6\\ & =1-6+11-6\\ & =0\end{array}$

Wir haben eine Nullstelle (x1=1)$(x_1=1)$ gefunden und wissen nun, wie wir bei der Polynomdivision teilen müssen:

x3−6x2+11x−6÷(x−1)$x^3-{6x}^2+11x-6÷(x-1)$

Das Ergebnis der Polynomdivision lautet:

x3−6x2+11x−6÷(x−1)=x2−5x+6$x^3-{6x}^2+11x-6÷(x-1)=x^2-5x+6$

Diese Gleichung (x2−5x+6$x^2-5x+6$) können wir wiederum mit der p-q-Formel auf Nullstellen prüfen. Unser Ergebnis:

x2=2$x_2=2$
x3=3$x_3=3$

Somit haben wir unsere drei Nullstellen gefunden. Der Graph bestätigt uns diese:

Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen. Das bedeutet, wenn deine Gleichung f(x)=ex$f(x)=e^x$ lautet, weißt du sofort, dass du keine Nullstellen berechnen kannst. Das gilt auch, wenn der Exponent deiner e-Funktion komplexer ist, zum Beispiel:

f(x)=e2x−3$f(x)=e^{2x-3}$

Das macht keinen Unterschied: Die Exponentialfunktion als solche hat keine Nullstellen.
Es gibt allerdings noch ein paar andere Fälle. Sehen wir uns diese genauer an!

Beispiel:

f(x)=ex−4$f(x)=e^x-4$

Wir setzen die Gleichung gleich Null:

ex−4=0$e^x-4=0$

Wir nutzen Äquivalenzumformungen:

ex−4ex=0=4|+4$\begin{array}{rlrl}{e}^x-4& =0& & |+4\\ e^x& =4\end{array}$

Wir wenden die Umkehrfunktion der e-Funktion an, den natürlichen Logarithmus, um nach x$x$ aufzulösen:

exx=4=ln(4)|ln(x)$\begin{array}{rlrl}{e}^x& =4& & |\ln (x)\\ x& =\ln (4)\end{array}$

Das lösen wir mit dem Taschenrechner:

x≈1,39$x\approx 1,39$

Hier haben wir eine Nullstelle gefunden.
Manchmal brauchen wir die ln-Funktion gar nicht, weil wir ein Produkt haben, für das wir den Satz des Nullprodukts anwenden können.

Beispiel:

f(x)=e−x⋅2x$f(x)=e^{-x}\cdot 2x$

Wir setzen die Funktion gleich Null:

e−x⋅2x=0$e^{-x}\cdot 2x=0$

Wir wissen: Wenn einer der beiden Faktoren gleich Null wird, dann erhalten wir auch als Produkt insgesamt Null. Da Exponentialfunktionen keine Nullstellen haben, wissen wir, dass e–x$e^{–x}$ nicht Null werden kann. Der Term 2x$2x$ hingegen kann Null werden:

2xx=0=0|÷2$\begin{array}{rlrl}2x& =0& & |÷2\\ x& =0\end{array}$

So haben wir doch noch eine Nullstelle gefunden: x=0$x=0$.