Symmetrie
Wenn Du wissen willst, was Symmetrie ist, dann bist Du hier genau richtig. Schau Dir das Video an oder steig direkt in den Text ein.
Was versteht man unter der Symmetrie von Funktionen?
Wie du bereits weißt, kannst du Funktionen auch grafisch darstellen, also im Koordinatensystem. Anhand solcher Schaubilder kannst du häufig leicht feststellen, ob eine Funktion symmetrisch ist. In der Kurvendiskussion wirst du häufig Funktionen auf Symmetrie prüfen. Meist geht es dabei um die folgenden zwei Fälle:
- Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Das bedeutet, dass du die Funktion exakt an der y-Achse spiegeln kannst.
- Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung – das ist der Punkt (0|0) im Koordinatensystem. Du kannst die Funktion exakt an diesem Punkt spiegeln.
Darüber hinaus gibt es noch weitere Fälle, die wir uns gleich gemeinsam ansehen. Aber zunächst schauen wir uns zum besseren Verständnis zwei Funktionsgraphen an.
Hier ein Beispiel für Achsensymmetrie zur y-Achse:
Wie du siehst, dient die y-Achse hier als Spiegelachse. Die Funktion sieht auf beiden Seiten der Achse gleich aus, nur eben spiegelverkehrt.
Hier noch ein Beispiel für Punktsymmetrie zum Ursprung:
Wie können wir nun herausfinden, ob in unserer Funktion eine Symmetrie vorliegt? Es gelten für die Achsensymmetrie zur y-Achse und für die Punktsymmetrie zum Ursprung folgende Regeln:
Achsensymmetrie zur y-Achse: f(−x)=f(x)
Punktsymmetrie zum Ursprung: f(−x)=−f(x)
Schauen wir uns diese Regeln in der Praxis einmal genauer an.
Die Schülerhilfe hilft Dir in jedem Fall – zum Beispiel mit kostenlosen Probestunden
- Vor Ort oder Online.
- In vielen Fächern, allen Klassen und Schularten.
- Du kannst alle Fragen stellen, die Dir wichtig sind.
Achsensymmetrie zur y-Achse
Schau dir zum besseren Verständnis diesen Funktionsgraphen an:
Es gilt:
f(−x)=f(x)
Das kannst du im Graphen sehr gut erkennen: Jeder x-Wert findet auf der anderen Seite der Spiegelachse sein negatives Gegenstück.
Nun willst du natürlich wissen, wie du diese Art der Achsensymmetrie mathematisch berechnest. Das gelingt dir in drei Schritten, die wir gleich an einem Beispiel durchgehen.
1. Stelle die Gleichung für f(−x) auf.
Wir nehmen als Beispiel die Funktion f(x)=x2. Dazu bilden wir jetzt die Funktion f(−x):
f(x)=x2
f(−x)=(−x)2
2. Vereinfache die Gleichung
Dieser Schritt ist hier sehr einfach:
f(−x)=(−x)2
f(−x)=x2
3. Vergleiche f(x) und f(−x)
f(x)=x2
f(−x)=x2
Du siehst also, dass f(x) und f(−x) exakt gleich sind. Die Funktion ist daher symmetrisch zur y-Achse.
Testen wir das noch einmal an einem etwas schwierigeren Beispiel:
f(x)=2+x4−2x2
Ist diese Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse?
1. Stelle die Gleichung für f(−x) auf.
Wir bilden die Funktion f(−x):
f(x)=2+x4−2x2
f(−x)=2+(−x)4−2⋅(−x)2
2. Vereinfache die Gleichung
Wir vereinfachen f(−x):
f(−x)=2+(−x)4−2⋅(−x)2
f(−x)=2+x4−2x2
3. Vergleiche f(x) und f(–x)
f(x)=2+x4−2x2
f(−x)=2+x4−2x2
Wieder kannst du hier Achsensymmetrie zur y-Achse feststellen.
Oft kannst du dir das Rechnen sparen. Es gilt nämlich: Wenn die ganzrationale Funktion, die du betrachtest, ausschließlich gerade Exponenten hat, dann ist sie automatisch achsensymmetrisch zur y-Achse. Beispiel: f(x)=14x4+6x2−8
Wie behandelst du die −8? Erinnere dich, dass man auch diese Zahl mit einem Exponenten schreiben könnte: 8⋅x0, denn x0=1. Somit weist diese Gleichung nur gerade Exponenten auf und du kannst von einer Achsensymmetrie ausgehen.
Punktsymmetrie zum Ursprung
Der zweite Fall von Symmetrie, der sehr häufig auftritt, ist die Punktsymmetrie zum Ursprung. Dann ist der Ursprung mit den Koordinaten (0|0) der Spiegelpunkt. Schau dir dazu diesen Graphen an:
Hier gilt:
f(−x)=−f(x)
Die mathematische Berechnung funktioniert fast genau wie bei der Achsensymmetrie:
1. Stelle die Gleichungen für f(−x) und −f(x) auf.
Wir nehmen als Beispiel die Funktion f(−x)=x3−3x. Wir bilden f(−x) und −f(x):
f(x)=x3−3x
f(−x)=(−x)3−3⋅(−x)
−f(x)=−(x3−3x)
2. Vereinfache die Gleichungen
f(−x)=(−x)3−3⋅(−x)
f(−x)=−x3+3x
Und:
−f(x)=−(x3−3x)
−f(x)=−x3+3x
3. Vergleiche f(–x) und –f(x)
f(−x)=−x3+3x
−f(x)=−x3+3x
Du erkennst: Die beiden Gleichungen sind exakt gleich und du hast damit die Punktsymmetrie im Ursprung nachgewiesen.
Auch hier gibt es einen Fall, in dem du nicht rechnen musst. Wenn nämlich nur ungerade Exponenten vorhanden sind (dazu gehört auch x, denn x=x1, dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Das ist zum Beispiel bei dieser Funktion der Fall: f(x)=2x5−3x3+x
Achsensymmetrie zu einer beliebigen vertikalen Achse
Es gibt außerdem Funktionen, die sich zwar nicht an der y-Achse, dafür aber an einer parallel dazu verlaufenden Spiegelachse spielen lassen. Diese Funktionen sind auch symmetrisch, nur eben nicht direkt an der y-Achse. Du kannst es dir so vorstellen, dass die gesamte Funktion um eine bestimmte Distanz nach links oder rechts verschoben, aber dennoch symmetrisch ist. Auch das verstehst du anhand eines Graphen leichter:
Hier kannst du erkennen, dass die (mutmaßliche) Symmetrieachse nicht bei x=0 (y-Achse), sondern bei x=2 liegt.
Wir vermuten, dass die Funktion dennoch achsensymmetrisch ist, und zwar an der vermuteten Achse h=2.
Für diese Art der Symmetrie gilt folgende Regel:
Achsensymmetrie an einer beliebigen Achse h liegt vor, wenn gilt:
f(h−x)=f(h+x)
Nur wenn diese Gleichung aufgeht, können wir h tatsächlich als Symmetrieachse bestätigen. Rechnen wir dazu also ein Beispiel. Wir nehmen dazu folgende Funktion:
f(x)=(x−2)2−3
Wir stellen nun zuerst f(h−x) auf. Da wir für h die Zahl 2 (und für x dann 2−x) einsetzen, sieht das so aus:
f(2−x)=((2−x)−2)2−3
Dann können wir ein wenig vereinfachen:
f(2−x)=(−x)2−3=x2−3
Nun müssen wir noch f(h+x) berechnen, um vergleichen zu können. Dazu setzen wir für x diesmal h+x, also h+2, ein:
f(2+x)=((2+x)−2)2−3
f(2+x)=(x)2−3=x2−3
Wie du siehst, sind beide Ergebnisse gleich. Du hast nun bestätigt, dass die Funktion f(x)=(x−2)2−3 achsensymmetrisch ist, und zwar für die Achse h=2.
Wie kannst du herausfinden, welche Achse h eine Symmetrieachse sein könnte? Die einfachste Variante ist natürlich die, wenn dir in der Aufgabe bereits vorgegeben wird, welche Achse h du auf Symmetrie prüfen sollst.
Wenn du diese Information nicht hast, kannst du stattdessen die Extremstellen berechnen. Dort könnte sich möglicherweise eine Symmetrieachse verbergen, sodass du dann die Extremstellen für h einsetzen und mit dem oben erklärten verfahren auf Symmetrie prüfen kannst.
Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt
Auch bei der Punktsymmetrie gibt es den Fall, dass eine Funktion symmetrisch ist, aber nicht zum Ursprung, sondern zu einem beliebigen anderen Punkt. Ein Beispiel siehst du hier:
Du kannst hier den vermutlichen
Symmetriepunkt sehen:
Er liegt nicht bei (0|0), sondern bei P(2|−3).
Anhand der Grafik kannst du erahnen,
dass die Funktion punktsymmetrisch ist.
Doch wie zeigst du das mathematisch? Glücklicherweise gibt es auch dafür eine Regel. Sie lautet:
Punktsymmetrie in einem beliebigen Punkt P(a|b) liegt vor, wenn gilt:
f(a+x)−b=−(f(a−x)−b)
Rechnen wir das an einem Beispiel durch, und zwar an der folgenden Funktion:
f(x)=(x−2)3−3
Wir brauchen zum Einsetzen in die Formel außerdem die Werte für a und b. Diese kennen wir bereits, denn es sind die Koordinaten unseres vermuteten Spiegelpunkts, den wir nun überprüfen:
P(2|−3)
a=2
b=−3
So können wir nun die beiden Teile der Gleichung aufstellen:
f(a+x)−b=−(f(a−x)−b)
Wir beginnen mit f(a+x)−b und setzen das in unsere Funktion f(x)=(x−2)3−3 ein:
f(2+x)−(−3)=((2+x)−2)3−3−(−3)
Und wir vereinfachen:
f(2+x)−(−3)=(x)3−3+3
f(2+x)−(−3)=x3
Auf die gleiche Weise berechnen wir nun −f(a−x)−b:
−f(2−x)−(−3)=−[((2−x)−2)3−3−(−3)]
Wir vereinfachen:
−f(2−x)−(−3)=−[(−x)3−3+3]
−f(2−x)−(−3)=−(−x3)
−f(2−x)−(−3)=x3
Wir sehen also: f(a+x)−b=−(f(a−x)−b)
Für den Punkt P(2|−3) ist unsere Funktion also punktsymmetrisch.
Auch für die Punktsymmetrie gibt es einen Weg, mögliche Symmetriepunkte herauszufinden. Wenn sie nicht in der Aufgabe bereits vorgegeben sind, berechnest du die Wendepunkte deiner Funktion. Diese kannst du dann auf mögliche Symmetrie prüfen.
Welche Art der Symmetrie gibt es bei Funktionen nicht?