Grenzwert

Vielleicht bist du im Rahmen einer Kurvendiskussion auf den Grenzwert gestoßen. Was hat es damit auf sich? Wenn du – meist ebenfalls als Teil der Kurvendiskussion – den Graphen deiner Funktion zeichnest, dann bemerkst du, dass dieser nicht komplett auf dein Blatt passt. Du deutest also an bestimmten Stellen nur an, in welcher Richtung deine Funktion weitergeht. Mathematisch betrachtet wollen wir aber trotzdem wissen, was außerhalb deines Papiers mit der Funktion passiert. Dazu müssen wir den Grenzwert bestimmen.

Schau dir dazu zum Beispiel folgenden Graphen an:

Dieser Graph gehört zur Funktion f(x)=x3$f(x)=x^3$. Lass uns einmal überprüfen, wie die y$y$-Werte im Koordinatensystem sich verhalten, wenn die x$x$-Werte immer größer bzw. immer kleiner werden. Dazu legen wir eine Wertetabelle an und setzen die x$x$-Werte in unsere Funktion ein, um die entsprechenden y$y$-Werte zu erhalten:

Hier erkennst du sehr schnell: Wenn die x$x$-Werte größer werden, werden auch die y$y$-Werte größer. Und wenn die x$x$-Werte kleiner werden, werden auch die y$y$-Werte kleiner. Anders ausgedrückt:

• Wenn x$x$ gegen plus unendlich geht, geht auch y$y$ gegen plus unendlich.
• Wenn x$x$ gegen minus unendlich geht, geht auch y$y$ gegen minus unendlich.

Das ist nun recht kompliziert zu schreiben. Deshalb gibt es zur Abkürzung die Limesschreibweise.

Für unser Beispiel oben –f(x)=x3$f(x)=x^3$ – können wir schreiben:

limx→+∞x3=+∞$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3=+\mathrm{\infty }$
limx→−∞x3=−∞$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^3=-\mathrm{\infty }$

Übersetzt bedeutet das nichts anderes als das, was wir bereits gesagt haben:

„Der Limes von x3$x^3$ für x$x$ gegen plus unendlich ist gleich plus unendlich.“
„Der Limes von x3$x^3$ für x$x$  gegen minus unendlich ist gleich minus unendlich.“

In unserem Beispiel für die Funktion f(x)=x3$f(x)=x^3$ ist es so, dass der Limes gegen plus unendlich geht, wenn die x$x$-Werte gegen plus unendlich gehen, und dass der Limes gegen minus unendlich geht, wenn die x$x$-Werte gegen minus unendlich gehen.

Das ist aber nicht immer so. Schau dir zum Beispiel die einfache quadratische Funktion f(x)=x2$f(x)=x^2$ an:

Hier gehen die y$y$-Werte – und damit der Grenzwert der Funktion – gegen plus unendlich, egal ob x$x$ gegen plus unendlich oder minus unendlich geht. Oder korrekt ausgedrückt:

„Der Limes von x2$x^2$ für x$x$ gegen plus unendlich ist gleich plus unendlich.“
„Der Limes von x2$x^2$ für x$x$ gegen minus unendlich ist gleich plus unendlich.“

Wir können den Grenzwert auch wieder mithilfe der Limesschreibweise aufschreiben:

limx→+∞x2=+∞$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2=+\mathrm{\infty }$
limx→−∞x2=+∞$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2=+\mathrm{\infty }$

Gar nicht so schwierig, oder? Jetzt kommt eine spannende Sache. Den Grenzwert können wir nämlich auch benutzen, wenn eine Funktion gegen einen endlichen (nicht unendlichen) Wert geht.

Einem Grenzwert oder Limes gegen eine endliche Zahl wirst du sehr häufig begegnen, wenn du dich mit gebrochenrationalen Funktionen beschäftigst. Diese haben nämlich Polstellen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Du kannst dich diesen Polstellen aber beliebig weit annähern – und auch dafür wieder Grenzwerte bestimmen. So sieht ein Graph für eine gebrochenrationale Funktion mit einer Polstelle aus:

Was passiert nun mit den y$y$-Werten im Koordinatensystem, wenn unsere x$x$-Werte sich immer weiter –3$–3$ nähern? Schauen wir auch dazu wieder in eine Wertetabelle. Diesmal nähern wir uns aber nicht „unendlich“, sondern eben der Zahl –3$–3$, und zwar „von beiden Seiten“ – einmal von links auf der x$x$-Achse und einmal von rechts auf der y$y$-Achse.

Um die y$y$-Werte zu ermitteln, setzen wir unsere x$x$-Werte nacheinander in die Funktion ein und rechnen aus. Wir erhalten folgende Werte:

Was kannst du erkennen? Wenn du dich von der „linken Seite“, also mit größer werdenden x$x$-Werten, der Stelle x=–3$x=–3$ näherst, werden die y$y$-Werte immer größer – sie gehen also gegen plus unendlich. Näherst du dich hingegen der –3$–3$ von der „rechten Seite“ des Koordinatensystems, also mit kleiner werdenden x$x$-Werten, dann gehen die y$y$-Werte gegen minus unendlich.

Das sprechen wir so aus:

„Der linksseitige Limes von f(x)=x(x+3)+2$f(x)=\frac{x}{(x+3)}+2$ für x$x$ gegen minus drei ist gleich plus unendlich.“
„Der rechtsseitige Limes von f(x)=x(x+3)+2$f(x)=\frac{x}{(x+3)}+2$ für x$x$ gegen minus drei ist gleich minus unendlich.“

Natürlich können wir auch dafür die Limesschreibweise verwenden:

limx→−3−x(x+3)+2=+∞$\underset{x\to {-3}^{-}}{lim}\frac{x}{(x+3)}+2=+\mathrm{\infty }$
limx→−3+x(x+3)+2=−∞$\underset{x\to {-3}^{+}}{lim}\frac{x}{(x+3)}+2=-\mathrm{\infty }$

Siehst du die kleinen Minus- und Pluszeichen rechts neben der Zahl –3$–3$? Für den linksseitigen Grenzwert – also x$x$-Werte, sie sich von der linken Seite des Koordinatensystems der Definitionslücke bei –3$–3$ nähern – schreibst du −3−${-3}^{-}$. Für den rechtsseitigen Grenzwert schreibst du −3+${-3}^{+}$.

Sonderfall: beidseitiger Grenzwert

Es gibt Funktionen, für die der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich sind. Das ist zum Beispiel bei der Funktion 1x2$\frac{1}{x^2}$ der Fall. Hier nähern wir uns von beiden Seiten dem x$x$-Wert 0:

In diesem Fall hast du einen beidseitigen Grenzwert ermittelt. Du sagst dann:

„Der beidseitige Limes von 1x2$\frac{1}{x^2}$ für x$x$ gegen 0$0$ ist gleich plus unendlich.“

Oder in der Limesschreibweise:

limx→01x2=+∞$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}=+\mathrm{\infty }$

Jedes Mal eine Wertetabelle anzulegen, erfordert natürlich sehr viel Zeit. Deswegen ist es nützlich, zumindest für bestimmte Funktionen die Regeln für den Grenzwert auswendig zu lernen. Wir stellen dir hier die Grenzwerte einiger Funktionen vor, denen du häufig begegnen wirst.

Potenzfunktionen

1. Fall: positive, gerade Exponenten

Für Potenzfunktionen mit positiven, geraden Exponenten n (z.B. \(f(x)={x}^{2}) gilt:

limx→±∞xn=+∞$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=+\mathrm{\infty }$

Je weiter sich deine x$x$-Werte also unendlich nähern (positiv oder negativ), desto größer werden deine y$y$-Werte.

2. Fall: positive, ungerade Exponenten

Für Potenzfunktionen mit positiven, ungeraden Exponenten n (z.B. f(x)=x3$f(x)=x^3$) gilt:

limx→−∞xn=−∞$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=-\mathrm{\infty }$
limx→+∞xn=+∞$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=+\mathrm{\infty }$

Für negative x$x$-Werte, die nach minus unendlich streben, werden auch die y$y$-Werte unendlich klein. Für positive x$x$-Werte, die nach plus unendlich streben, werden die y$y$-Werte unendlich groß.

3. Fall: gerade, negative Exponenten

Für Potenzfunktionen mit geraden, negativen Exponenten n (z. B. f(x)=x−2$f(x)=x^{-2}$) gilt:

limx→±∞xn=0$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=0$

Außerdem gilt für x-Werte kleiner oder größer als Null (aber nicht exakt Null):

limx→0x<0x>0xn=+∞$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\\ x>0\end{array}}{lim}{x}^n=+\mathrm{\infty }$

4. Fall: ungerade, negative Exponenten gilt

Für Potenzfunktionen mit ungeraden, negativen Exponenten n (z.B. f(x)=x−3$f(x)=x^{-3}$) gilt:

limx→±∞xn=0$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=0$

Außerdem gilt für x-Werte kleiner oder größer als Null (aber nicht exakt Null):

limx→0x<0xn=−∞$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{lim}{x}^n=-\mathrm{\infty }$, wenn x kleiner als Null ist, und
limx→0x>0xn=+∞$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{lim}{x}^n=+\mathrm{\infty }$, wenn x größer als Null ist.

Die e$e$-Funktion

Auch die Regeln für die Grenzwerte der e$e$-Funktion lernst du am besten einfach auswendig, damit du sie immer parat hast. Sie lauten:

limx→−∞ex=0$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0$
limx→0ex=1$\underset{x\to 0}{lim}{e}^x=1$
limx→+∞ex=+∞$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$

Wenn du mehrere Grenzwerte beispielsweise addieren oder multiplizieren sollst, fragst du dich vielleicht, welche Rechenregeln dafür gelten. Zum Glück ist das nicht weiter schwierig, denn die Rechenregeln für die Grenzwerte ähneln stark denen, die du bereits gewohnt bist:

Summen von Grenzwerten

Wenn du den Grenzwert einer Summe von Funktionen bilden sollst, bestimmst du einfach zunächst die Grenzwerte der einzelnen Summanden und addierst sie dann – genauso, wie du es auch sonst mit einzelnen Termen machen würdest.

Mathematisch sieht das so aus:

limx→∞[f(x)+g(x)]=limx→∞f(x)+limx→∞g(x)$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)+g(x)]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)+\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)$

Differenzen, Produkte und Quotienten von Grenzwerten

Für Differenzen, Produkte und Quotienten funktionieren die Regeln ganz genauso. Mathematisch schreiben wir:

Differenz:

limx→∞[f(x)−g(x)]=limx→∞f(x)−limx→∞g(x)$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-g(x)]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)$

Produkt:

limx→∞[f(x)⋅g(x)]=limx→∞f(x)⋅limx→∞g(x)$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)\cdot g(x)]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)$

Quotient:

limx→∞f(x)g(x)=limx→∞f(x)limx→∞g(x)$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)}{\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)}$

Schließlich solltest du noch die Faktorregel kennen. Auch sie ist ganz einfach: Ein konstanter Faktor vor der Funktion bleibt unverändert erhalten. Du kannst ihn außerdem vor den Limes ziehen. Mathematisch schreiben wir:

limx→∞c⋅f(x)=c⋅(limx→∞f(x))$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}c\cdot f(x)=c\cdot (\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x))$

Prima! Nun weißt du über den Grenzwert Bescheid und kannst sogar damit rechnen.