Ortskurve bestimmen – online lernen

Ortskurve

Die Ortskurve einer Funktionenschar ist eine Kurve, die durch spezielle Punkte (Extrempunkte, Wendepunkte) der Graphen der Schar verläuft. In der Skizze rechts ist die Ortskurve durch die Tiefpunkte einer Funktionenschar dargestellt.

Man bestimmt die Ortskurve, indem man die Koordinaten des benannten Punktes in Abhängigkeit des Parameters bestimmt. Anschließend löst man die

–Koordinate nach dem Parameter auf und setzt sie dafür in die Funktionsgleichung ein.

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Beispielaufgabe:

Bestimme die Ortskurve durch die Tiefpunkte von ft(x)=1t2x4−8x2$f_t(x)=\frac{1}{t^2}{x}^4-8x^2$.

Lösung:

Extrempunkte bestimmen: f′(x)=0$f^{\prime }(x)=0$

ist Maximum;
sind Minima.

Die Funktionswerte lauten
ft(±2t)=1t2⋅(±2t)4−8⋅(±2t)2=16t2−32t2=−16t2$f_t(\pm 2t)=\frac{1}{t^2}\cdot (\pm 2t{)}^4-8\cdot (\pm 2t{)}^2=16t^2-32t^2=-16t^2$
⇒T1;2(±2t∣−16t2)$\Rightarrow T_{1;2}\left(\pm 2t\mid -16t^2\right)$

Stelle die

-Koordinate nach um und setze den Term dann in der Funktionsgleichung für ein:
x=±2t⇒t=±x2⟹einsetzeny=−16(±x2)2=−16⋅x24=−4x2$x=\pm 2t\Rightarrow t=\pm \frac{x}{2}\stackrel{\text{einsetzen}}{⟹}y=-16(\pm \frac{x}{2}{)}^2=-16\cdot \frac{x^2}{4}=-4x^2$

Die Gleichung der Ortskurve der Tiefpunkte lautet damit y=−4x2$y=-4x^2$.