Ortskurve bestimmen – online lernen
Wenn du eine Kurve durch alle Tief- oder alle Hochpunkte einer Funktionsschar legst, dann spricht man von einer Ortskurve. Wie du diese berechnest und was diese für besondere Eigenschaften hat, das lernst du hier.
Ortskurve
Die Ortskurve einer Funktionenschar ist eine Kurve, die durch spezielle Punkte (Extrempunkte, Wendepunkte) der Graphen der Schar verläuft. In der Skizze rechts ist die Ortskurve durch die Tiefpunkte einer Funktionenschar dargestellt.
Man bestimmt die Ortskurve, indem man die Koordinaten des benannten Punktes in Abhängigkeit des Parameters bestimmt. Anschließend löst man die x
Beispielaufgabe:
Bestimme die Ortskurve durch die Tiefpunkte von ft(x)=1t2x4−8x2.
Lösung:
f′t(x)=4t2x3−16x
Extrempunkte bestimmen: f′(x)=0
4t2x3−16x=x(4t2x2−16)=0⇒x1=0;x2;3=4t2x2−16=0⇒x2;3=±2t
f″t(x1)=−16<0⇒x1
f″t(±2t)=32>0⇒x2;3
Die Funktionswerte lauten
ft(±2t)=1t2⋅(±2t)4−8⋅(±2t)2=16t2−32t2=−16t2
⇒T1;2(±2t∣−16t2)
Stelle die x
x=±2t⇒t=±x2einsetzen⟹y=−16(±x2)2=−16⋅x24=−4x2
Die Gleichung der Ortskurve der Tiefpunkte lautet damit y=−4x2.
Ortskurve 02_1
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 12409
| Funktionsscharen Ortskurve | Schwierigkeitsgrad 1 Serie 2 |
Aufgabe 1
Bestimme jeweils die Gleichung der Ortskurven der Extrempunkte folgender Funktionsscharen fi(x)
- fa(x)=(x+a)⋅e−x
- fb(x)=xb⋅ebx;b≠0
- fc(x)=x√x+c;c>0
- fd(x)=d⋅x−ln(x)
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktionsschar fm(x)=1m3⋅(x3−3mx2+4m3);m≠0
- Gib zuerst die ersten drei Ableitungen von fman.
- Bestimme den Hoch- und Tiefpunkt der Funktionen und gib die Ortskurve der Tiefpunkte an.
- Bestimme den Wendepunkt und gib die Ortskurve der Wendepunkte an.
Ortskurve 02_1
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 12409
| Funktionsscharen Ortskurve | Schwierigkeitsgrad 1 Serie 2 |
Aufgabe 1
Bestimme jeweils die Gleichung der Ortskurven der Extrempunkte folgender Funktionsscharen fi(x)
- fa(x)=(x+a)⋅e−x
- fb(x)=xb⋅ebx;b≠0
- fc(x)=x√x+c;c>0
- fd(x)=d⋅x−ln(x)
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktionsschar fm(x)=1m3⋅(x3−3mx2+4m3);m≠0
- Gib zuerst die ersten drei Ableitungen von fman.
- Bestimme den Hoch- und Tiefpunkt der Funktionen und gib die Ortskurve der Tiefpunkte an.
- Bestimme den Wendepunkt und gib die Ortskurve der Wendepunkte an.
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 1006
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 5844
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 12410
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 1007
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 5845
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 5846
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 1008
