Summenregel und Differenzregel

Wie du am Namen dieser beiden Ableitungsregeln bereits erkennen kannst, haben die Summenregel und die Differenzregel etwas mit Summen und Differenzen zu tun. Ihre Anwendung ist ganz einfach – neben der Erklärung zeigen wir dir auch gleich mehrere Beispiele, sodass du das Ableiten mit diesen beiden Regeln üben kannst.

Hier ein kurzer Überblick:

Bestimmt kannst du dir jetzt schon denken, wann die Differenzregel zum Einsatz kommt:

Vielleicht kannst du anhand der Beispiele schon erahnen, dass du für die Ableitung neben der Summenregel und der Differenzregel noch weitere Regeln brauchen wirst. Besonders häufig kommen dabei die Potenzregel und die Faktorregel zum Einsatz. Auch dazu erhältst du gleich anhand einiger Beispiele eine Erklärung.

Eine Funktion mit der Summenregel abzuleiten, ist nicht schwer. So lautet die Formel zum Bilden der Ableitung:

f(x)=g(x)+h(x)
f′(x)=g′(x)+h′(x)

Du siehst hier, dass die beiden Ableitungen der Teilfunktionen g′(x) und h′(x) einfach addiert werden. Dazu gehst du am besten in folgenden drei Schritten vor:

Schritt 1: Schreibe die einzelnen Teilfunktionen auf

In unserer Funktion f(x)=g(x)+h(x) heißen unsere Teilfunktionen g(x) und h(x). Schauen wir uns das gleich an einem Beispiel an:

f(x)=4x5+3x

Hier findest du die beiden Teilfunktionen:

g(x)=4x5
h(x)=3x

Wo eine Teilfunktion endet und die andere beginnt, erkennst du am Plus-Zeichen. Dieses teilt die Gesamtfunktion in die beiden Summanden.

Schritt 2: Leite die einzelnen Teilfunktionen ab

Um die Teilfunktionen abzuleiten, brauchst du in der Regel weitere Ableitungsregeln. In unserem Beispiel sieht das so aus:

g(x)=4x5

Wir leiten mithilfe der Potenz- und der Faktorregeln ab:

g′(x)=4⋅5x4

Auch für unsere zweite Teilfunktion h(x) benötigst du die Potenzregel:

h(x)=3x
h′(x)=3

Schritt 3: Addiere die abgeleiteten Teilfunktionen

Nun kennst du die Ableitungen der Teilfunktionen und kannst sie in die Formel der Summenregel einsetzen:

f(x)=g(x)+h(x)
f′(x)=g′(x)+h′(x)

Wir setzen ein:

f′(x)=4⋅5x4+3

Zum Schluss können wir noch ein klein wenig vereinfachen:

f′(x)=20x4+3

Fertig! Du hast erfolgreich die Summenregel angewendet, um eine Ableitung zu berechnen. 

Ein einfaches Beispiel für die Anwendung der Summenregel hast du bereits gesehen. Die Anwendung der Summenregel ist meist sehr unkompliziert. Wir schauen uns aber noch ein paar Sonderfälle an, bei denen du beim Berechnen etwas aufpassen musst.

Beispiel 1: Teilfunktion mit negativem Vorzeichen nach der Ableitung

Wir nehmen folgende Aufgabe als Beispiel:

f(x)=3x2+2x−3

Gehen wir unsere bekannten drei Schritte durch.

Schritt 1: Schreibe die einzelnen Teilfunktionen auf

In unserer Funktion f(x)=3x2+2x−3 lauten unsere zwei Teilfunktionen:

g(x)=3x2
h(x)=2x−3

Schritt 2: Leite die einzelnen Teilfunktionen ab

Wir leiten beide Teilfunktionen einzeln ab. Dazu nutzen wir auch hier wieder die Potenz- und die Faktorregel:

g(x)=3x2
g′(x)=6x

h(x)=2x−3
h′(x)=−6x−4

Schritt 3: Addiere die abgeleiteten Teilfunktionen

Zuletzt werden die beiden abgeleiteten Teilfunktionen addiert. Da die Teilfunktion h′(x) ein negatives Vorzeichen hat, setzt du sie für den besseren Überblick am besten erst einmal in Klammern:

f(x)=g(x)+h(x)
f′(x)=g′(x)+h′(x)

Wir setzen ein:

f′(x)=6x−6x−4

Somit hast du deine Lösung gefunden. 

Beispiel 2: Anwendung der Summenregel mit drei Summanden

Die Summenregel gilt unabhängig davon, wie viele Summanden deine abzuleitende Funktion hat. Schauen wir uns ein Beispiel mit drei Summanden an:

f(x)=4x3+3x3+2x2

Die Summenregel lautet dann entsprechend:

f(x)=g(x)+h(x)+i(x)
f′(x)=g′(x)+h′(x)+i′(x)

Die drei Schritte kennst du jetzt bereits. Gehen wir sie gemeinsam durch!

Schritt 1: Schreibe die einzelnen Teilfunktionen auf

Unsere Funktion f(x)=4x3+3x3+2x2 hat diesmal nicht zwei, sondern drei Teilfunktionen:

g(x)=4x3
h(x)=3x3
i(x)=2x2

Schritt 2: Leite die einzelnen Teilfunktionen ab

Wir leiten die Teilfunktionen wieder einzeln mithilfe der Potenz- und der Faktorregel ab:

g(x)=4x3
\(g'(x)=4\cdot {4x}^{3}={16x}^{3}

h(x)=3x3
h′(x)=3⋅3x2={9x}^{2}

i(x)=2x2
i′(x)=2⋅2x=4x

Schritt 3: Addiere die abgeleiteten Teilfunktionen

Zum Schluss müssen wir die abgeleiteten Teilfunktionen nur noch addieren:

f(x)=g(x)+h(x)+i(x)
f′(x)=g′(x)+h′(x)+i′(x)

f′(x)=16x3+9x2+4x

Du hast die Lösung gefunden!

Wenn du die Summenregel verstanden hast, wird dir das Ableiten mit der Differenzregel ganz leichtfallen. Die Formel lautet:

f(x)=g(x)–h(x)
f′(x)=g′(x)–h′(x)

Die Teilfunktionen werden hier also nicht wie bei der Summenregel addiert, sondern du bildest stattdessen die Differenz daraus. Auch dazu gehen wir wieder in drei Schritten vor.

Schritt 1: Schreibe die einzelnen Teilfunktionen auf

Die Teilfunktionen einer Funktion f(x)=g(x)–h(x) heißen g(x)undh(x). Ein Beispiel dazu:

f(x)=3x5–4x2

Die beiden Teilfunktionen heißen:

g(x)=3x5

h(x)=4x2

Auch hier erkennst du die einzelnen Teilfunktionen daran, dass sie durch das Minus-Zeichen getrennt werden.

Schritt 2: Leite die einzelnen Teilfunktionen ab

Wir leiten mithilfe der Faktor- und Potenzregeln die Teilfunktionen ab:

g(x)=3x5
g′(x)=3⋅5x4=15x4

h(x)=4x2
h′(x)=4⋅2x=8x

Schritt 3: Bilde die Differenz aus den Teilfunktionen

f(x)=g(x)–h(x)
f′(x)=g′(x)–h′(x)

Wir setzen ein:

f′(x)=15x4−8x

Nun kannst du mithilfe der Differenzregel Ableitungen berechnen!

Auch bei der Anwendung der Differenzregel gibt es ein paar Sonderfälle, die wir dir hier noch einmal genau erklären.

Beispiel 1: Teilfunktion mit negativem Vorzeichen nach der Ableitung

Wie auch bei der Summenregel musst du bei der Anwendung der Differenzregel ein wenig aufmerksamer sein, wenn negative Vorzeichen vorkommen. Dazu ein Beispiel:

f(x)=4x2–7x–3

Wir nutzen die bekannten drei Schritte zum Ableiten.

Schritt 1: Schreibe die einzelnen Teilfunktionen auf

Die Teilfunktionen unserer Funktion f(x)=4x2–7x–3 heißen:

g(x)=4x2
h(x)=7x–3

Schritt 2: Leite die einzelnen Teilfunktionen ab

g(x)=4x2
g′(x)=4⋅8x=32x

h(x)=7x–3
h′(x)=7⋅(−3x−4)=−21x−4

Schritt 3: Bilde die Differenz aus den Teilfunktionen

Wir setzen unsere abgeleiteten Teilfunktionen in die bekannte Formel für die Differenzregel ein:

f(x)=g(x)–h(x)
f′(x)=g′(x)–h′(x)

Wir setzen ein:

f′(x)=32x−(−21x−4)

Jetzt musst du genau auf die Vorzeichen achten, denn hier treffen zwei Minus-Zeichen aufeinander. Da Minus mal Minus Plus ergibt, musst du folgendermaßen auflösen:

f′(x)=32x−(−21x−4)
f′(x)=32x+21x−4

Du hast die Lösung gefunden! 

Beispiel 2: Anwendung der Differenzregel mit mehr als zwei Teilfunktionen

Auch wenn deine Funktion nicht nur aus zwei, sondern aus drei oder sogar noch mehr Teilfunktionen besteht, deren Differenz gebildet wird, kannst du die Differenzregel anwenden. Zum Beispiel könnte deine Funktion so aussehen:

f(x)=5x4–2x3–x2

Die Differenzregel lautet dann:

f(x)=g(x)–h(x)–i(x)
f′(x)=g′(x)–h′(x)–i′(x)

Zum Berechnen der Ableitung gehen wir wieder unsere drei Schritte durch.

Schritt 1: Schreibe die einzelnen Teilfunktionen auf

Unsere Funktion f(x)=5x4–2x3–x2 hat drei Teilfunktionen:

g(x)=5x4
h(x)=2x3
i(x)=x2

Schritt 2: Leite die einzelnen Teilfunktionen ab

g(x)=5x4
g′(x)=5⋅5x3=20x3

h(x)=2x3
h′(x)=2⋅2x2=6x2

i(x)=x2
i′(x)=2x

Schritt 3: Bilde die Differenz aus den Teilfunktionen

Wir erinnern uns an die Formel der Differenzregel mit mehr als zwei Teilfunktionen:

f(x)=g(x)–h(x)–i(x)
f′(x)=g′(x)–h′(x)–i′(x)

Wir setzen ein:

f′(x)=20x3−6x2−2x

Fertig!

Vielleicht hast du dich beim Lesen bereits gefragt, was passiert, wenn eine Funktion sowohl Plus- als auch Minus-Zeichen enthält? Es kommt häufig vor, dass du nicht nur eine, sondern mehrere Ableitungsregeln anwenden musst, um eine Funktion abzuleiten. Wie das geht, zeigen wir dir in unserem übergreifenden Artikel zu den Ableitungsregeln. Gibt es noch Ableitungsregeln, bei denen du unsicher bist? Dann schau dir unsere einzelnen Erklärungen dazu an – jeweils mit vielen Beispielen und Übungsaufgaben, sodass du deine Kenntnisse gleich online festigen kannst:

• Potenzregel und Faktorregel
  
  
• Produktregel
  
  
• Quotientenregel
  
  
• Kettenregel