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Partielle Integration

Partielle Integration – online lernen

Die partielle Integration kann als Umkehrung der Produktregel verstanden werden. Mithilfe der partiellen Integration kannst du Produkte integrieren.

Wiki zum Thema: Partielle Integration

Partielle Integration

Die partielle Integration ermöglicht es, bestimmte Produkte von Funktionen zu integrieren.

Es gilt für stetige Funktionen $f$ und $g$ im Intervall $[a; b]$ :

\int_{a}^{b} f^{'} (x) \cdot g (x) d x = [f (x) \cdot g (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (x) \cdot g^{'} (x) d x

Kennt man also eine Stammfunktion von $f$ oder $g$ und kann man das Integral auf der rechten Seite bestimmen, so kann man auch das Produkt integrieren.

Herleitung:

Die Ableitung der Produktfunktion $f \cdot g$ bildet man mit der Produktregel:

$(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$

Integriert man nun beide Seiten, erhält man

\begin{aligned} \int (f (x) \cdot g (x))^{'} d x & = \int (f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)) d x \\ = \int f^{'} (x) \cdot g (x) d x + \int f (x) \cdot g^{'} (x) d x \end{aligned}

Da das Integrieren der Ableitung auf der linken Seite grade wieder die Funktion selbst ergibt, gilt somit

f (x) \cdot g (x) = \int f^{'} (x) \cdot g (x) d x + \int f (x) \cdot g^{'} (x) d x

Indem man eines der beiden Integrale auf die andere Seite bringt, erhält man die obenstehende Formel für die partielle Integration.

Beispielaufgaben:

Berechne mithilfe partieller Integration:

\int_{1}^{5} x \cdot \ln (x) d x;

\int_{1}^{2} x \cdot e^{x} d x;

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) \cdot \cos (x) d x

Lösung:

a) Wähle $f^{'} (x) = x; g (x) = \ln (x) \Rightarrow f (x) = \frac{1}{2} x^{2}; g^{'} (x) = \frac{1}{x}$

\begin{aligned} \int_{1}^{5} x \cdot \ln (x) d x & = [\frac{1}{2} x^{2} \cdot \ln (x)]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{x} d x \\ = \frac{1}{2} \cdot 5^{2} \cdot \ln (6) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} \cdot \ln (1) - \int_{1}^{5} \frac{1}{2} x d x \\ = \frac{25}{2} \ln (5) - 0 - [\frac{1}{4} x^{2}]_{1}^{5} \\ = \frac{25}{2} \ln (5) - (\frac{25}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{25}{2} \ln (5) - 6 \end{aligned}

b) Wähle $f^{'} (x) = e^{x}; g (x) = x \Rightarrow f (x) = e^{x}; g^{'} (x) = 1$

\begin{aligned} \int_{1}^{2} x \cdot e^{x} d x & = [e^{x} \cdot x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} 1 \cdot e^{x} d x \\ = e^{2} \cdot 2 - e^{1} \cdot 1 - [e^{x}]_{1}^{2} \\ = 2 e^{2} - e - (e^{2} - e) = 2 e^{2} - e - e^{2} + e = e^{2} \end{aligned}

c) Wähle $f^{'} (x) = \sin (x); g (x) = \cos (x) \Rightarrow f (x) = - \cos (x); g^{'} (x) = - \sin (x)$

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) \cdot \cos (x) d x & = [- \cos^{2} (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) \cdot \cos (x) d x \\ 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) \cdot \cos (x) d x & = [- \cos^{2} (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} \\ i n t_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) \cdot \cos (x) d x & = - \frac{1}{2} (\cos^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (0)) = - \frac{1}{2} (0 - 1) = \frac{1}{2} \end{aligned}

Arbeitsblätter

Partielle Integration
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 6987
Partielle Integration
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 5817
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 6988
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 5818
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 6989
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 5819

Integrationsregeln / Stammfunktionsbildung

Schwierigkeitsgrad: 1

Partielle Integration

Serie 03

Aufgabe 1

Wurden die Funktionen korrekt integriert? Kreuze die richtige Antwort an.

a) $f (x) = x \cdot e^{x}$	$F (x) = e^{x} (x - 1) + c$	Ja	Nein
b) $f (x) = x \cdot s i n (x)$	$F (x) = s i n (x) - x \cdot c o s (x) + c$	Ja	Nein
c) $f (x) = x^{2} \cdot l n (x)$	$F (x) = \frac{1}{9} x^{3} (3 \cdot l n (x) - 1) + c$	Ja	Nein
d) $f (x) = x^{2} \cdot e^{x}$	$F (x) = e^{x} (2 x - 2) + c$	Ja	Nein
e) $f (x) = s i n (x) \cdot e^{x}$	$F (x) = \frac{1}{2} e^{x} (s i n (x) - c o s (x)) + c$	Ja	Nein
f) $f (x) = e^{x} \cdot c o s (x)$	$F (x) = \frac{1}{2} e^{x} (s i n (x) - c o s (x)) + c$	Ja	Nein

Aufgabe 2

Verbinde die Funktion mit der dazugehörigen Stammfunktion.

a) $f (x) = 2 x \cdot e^{x}$	1) $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} \cdot (2 l n (x) - 1) + c$
b) $f (x) = x^{3} \cdot s i n (x)$	2) $F (x) = 2 e^{x} \cdot (x - 1) + c$
c) $f (x) = s i n (x) \cdot c o s (x)$	3) $F (x) = 12 e \cdot (x^{2} - 2 x + 2) + c$
d) $f (x) = 2 x \cdot l n (x)$	4) $F (x) = 2 x \cdot s i n (x) - (x^{2} - 2) \cdot c o s (x) + c$
e) $f (x) = x^{3} \cdot e^{x}$	5) $F (x) = \frac{- 1}{2} c o s^{2} (x) + c$
f) $f (x) = 4 x^{2} \cdot 3 e^{x}$	6) $F (x) = e^{x} (x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 6)$

Aufgabe 3

Integriere mit Hilfe der partiellen Integration auf dem angegebenen Intervall.

\int_{0}^{1} 2 x \cdot e^{x} d x

\int_{- 1}^{2} x^{2} \cdot s i n (x) d x

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