Partielle Integration – online lernen

Partielle Integration

Die partielle Integration ermöglicht es, bestimmte Produkte von Funktionen zu integrieren.

Es gilt für stetige Funktionen f und g im Intervall [a;b]:

∫baf′(x)⋅g(x) dx=[f(x)⋅g(x)]ba−∫baf(x)⋅g′(x) dx

Kennt man also eine Stammfunktion von f oder g und kann man das Integral auf der rechten Seite bestimmen, so kann man auch das Produkt integrieren.

Herleitung:

Die Ableitung der Produktfunktion f⋅g bildet man mit der Produktregel:

(f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)

Integriert man nun beide Seiten, erhält man

∫(f(x)⋅g(x))′dx=∫(f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x))dx=∫f′(x)⋅g(x)dx+∫f(x)⋅g′(x)dx

Da das Integrieren der Ableitung auf der linken Seite grade wieder die Funktion selbst ergibt, gilt somit

f(x)⋅g(x)=∫f′(x)⋅g(x)dx+∫f(x)⋅g′(x)dx

Indem man eines der beiden Integrale auf die andere Seite bringt, erhält man die obenstehende Formel für die partielle Integration.

Beispielaufgaben:

Berechne mithilfe partieller Integration:

a) ∫51x⋅ln(x) dx;

Lösung:

a) Wähle f′(x)=x;g(x)=ln(x)⇒f(x)=12x2;g′(x)=1x

∫51x⋅ln(x) dx=[12x2⋅ln(x)]51−∫5112x2⋅1x dx=12⋅52⋅ln(6)−12⋅12⋅ln(1)−∫5112x dx=252ln(5)−0−[14x2]51=252ln(5)−(254−14)=252ln(5)−6

b) Wähle f′(x)=ex;g(x)=x⇒f(x)=ex;g′(x)=1

∫21x⋅ex dx=[ex⋅x]21−∫211⋅ex dx=e2⋅2−e1⋅1−[ex]21=2e2−e−(e2−e)=2e2−e−e2+e=e2

c) Wähle f′(x)=sin(x);g(x)=cos(x)⇒f(x)=−cos(x);g′(x)=−sin(x)

∫π20sin(x)⋅cos(x) dx=[−cos2(x)]π20−∫π20sin(x)⋅cos(x) dx2⋅∫π20sin(x)⋅cos(x) dx=[−cos2(x)]π20intπ20sin(x)⋅cos(x) dx=−12(cos2(π2)−cos2(0))=−12(0−1)=12