Umkehrfunktion
Wenn Du wissen willst, was die Umkehrfunktion ist, dann bist Du hier genau richtig.
Was ist eine Umkehrfunktion?
Der Name der Umkehrfunktion verrät bereits, was es damit auf sich hat: Eine Umkehrfunktion kannst du nutzen, um Rechnungen umzukehren. Genauer gesagt werden die x-Werte und die y-Werte einer Funktion vertauscht. Für den Graphen der Funktion bedeutet das, dass er gespiegelt wird, und zwar an der Winkelhalbierenden.
So sieht das für eine lineare Funktion aus:
Wie du siehst, wird die Umkehrfunktion hier f−1(x) genannt. Das ist die korrekte Schreibweise. Zum Rechnen nennt man sie aber oft auch einfach „y“.
Das Vorgehen, um die Umkehrfunktion zu berechnen, ist einfach:
- Du löst die Funktionsgleichung f(x)=y nach x auf.
- Du vertauschst die Variablen x und y.
Wichtig ist aber zu wissen, dass nicht jede Funktion eine Umkehrfunktion hat. Es gibt nämlich eine entscheidende Bedingung.
Voraussetzungen für die Umkehrfunktion
Der Definitionsbereich einer Funktion entspricht dem Wertebereich der Umkehrfunktion – und umgekehrt. Damit das möglich ist, darf jedem y-Wert im Wertebereich nur genau ein x-Wert aus dem Definitionsbereich zugeordnet werden.
Man sagt dann: Die Umkehrfunktion f−1(x) ist wohldefiniert.
Nun möchtest du bestimmt anhand einiger Beispiele sehen, wie man die Umkehrfunktion bilden kann. Schauen wir uns das an!
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Beispiel 1: Umkehrfunktion einer linearen Funktion bilden
Nehmen wir folgende lineare Funktion, von der wir die Umkehrfunktion bestimmen wollen:
f(x)=3x+6
Wir lösen f(x)=y nach x auf:
3x+6=y |–6
3x=y–6 |:3
x=13y–2
Jetzt müssen wir nur noch die Variablen vertauschen und erhalten:
y=13x–2
Unsere Umkehrfunktion lautet also:
f−1(x)=13x−2
Vielleicht erinnerst du dich: Der lineare Teil einer Gleichung (also in unserem Fall 3x bzw. 13x gibt die Steigung einer Funktion an. Somit ist es logisch, dass eine Gerade mit einer Steigung von 3 (3x) als Umkehrfunktion eine Steigung von 13 (13x) hat. Der absolute Teil der Gleichung (das ist bei f(x) die Zahl 6 und bei f−1(x) die Zahl −2) gibt hingegen den y-Achsenabschnitt an.
So sehen die Graphen für f(x) und ihre Umkehrfunktion f−1(x) im Koordinatensystem aus:
Beispiel 2: Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion bestimmen
Willst du die Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion berechnen, ist das Vorgehen grundsätzlich dasselbe. Hier musst du jedoch beachten, dass es keine allgemeingültige Umkehrfunktion geben kann. Warum? Weil der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel darstellt.
Hier siehst du als Beispiel die Funktion f(x)=0,5x2:
Wir ordnen hier jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Doch wenn du die y-Achse betrachtest, stellst du fest, dass es für jeden y-Wert (außer 0) zwei x-Werte gibt. Das ist für eine Umkehrfunktion aber nicht erlaubt.
Es gibt dennoch eine Möglichkeit: Wir legen einfach unseren Definitionsbereich so fest, dass wir dieses Problem umgehen. Wenn deine Parabel ihren Scheitelpunkt im Ursprung hat, kannst du zum Beispiel festlegen, dass der Definitionsbereich für die Umkehrfunktion sich ausschließlich auf positive Werte beschränkt:
f−1(x):D=R+0
Was passiert, wenn die Parabel entlang der x-Achse verschoben ist? Dann musst du herausfinden, wo diese ihren Hoch- bzw. Tiefpunkt hat, und dementsprechend ermitteln, wo du die beiden „Äste“ des Funktionsgraphen trennen musst, damit für jedes y nur ein x-Wert definiert ist.
Warum diese Einschränkung des Definitionsbereichs unser Problem löst, sehen wir am besten an einem Beispiel. Arbeiten wir gleich mit der gegebenen Funktion weiter:
f(x)=0,5x2
Wir lösen f(x)=y nach x auf:
y=0,5x2 |⋅2
x2=2y
x=√2x
Und wir vertauschen die Variablen x und y:
y=√2x
f−1(x)=√2x
Für x können wir nun alle positiven reellen Zahlen einsetzen.
Damit ist unsere Umkehrfunktion wohldefiniert und sieht so aus (in Rot siehst du noch einmal die ursprüngliche Funktion f(x)=0,5x2):
Beispiel 3: Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen bilden
Auch zu Potenzfunktionen höheren Grades kannst du Umkehrfunktionen bilden. Zum Beispiel so:
f(x)=x3
Wir lösen f(x)=y nach x auf:
x³=y |3√
x=3√y
Und wir vertauschen die Variablen:
y=3√x
f−1(x)=3√x
Gar nicht so schwierig, oder? In allgemeiner Form lautet die Formel für die Umkehrfunktion von Potenzfunktionen:
f(x)=xn mit n ∈ N \ {1}
f−1(x)=n√x
Damit diese Umkehrfunktion wirklich allgemeingültig ist, müssen wir auch hier den Definitionsbereich begrenzen:
D=R+0
Umkehrfunktion der e-Funktion
Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist der natürliche Logarithmus, also die ln-Funktion. Deswegen weißt du hier auch sofort: Der Definitionsbereich der e-Funktion ist der Wertebereich der ln-Funktion und umgekehrt. Da wir über die e-Funktion bereits wissen, dass ihr Wertebereich R+ ist, wissen wir damit sofort auch den Definitionsbereich der Umkehrfunktion, also der ln-Funktion.
An den Graphen der beiden Funktionen kannst du das sehr schön erkennen:
Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
Die Umkehrfunktionen der Sinus-Funktion, der Cosinus-Funktion und der Tangens-Funktion sind nicht nur genau definiert, sie haben auch spezielle Namen: Sie heißen Arkussinus, Arkuscosinus und Arkustangens.
So sehen sie aus:
Wichtig ist für diese Funktionen, dass Definitions- und Wertebereich genau definiert sind. Sonst haben wir dasselbe Problem wie bei den quadratischen Funktionen und können keine zulässige Umkehrfunktion bilden. Du solltest dir daher Folgendes merken:
| Funktion | Definitionsmenge | Wertemenge | Umkehrfunktion |
| sin(x) | [−Π2,Π2] | [−1,1] | f−1(x)=arcsin(x) |
| cos(x) | [0,π] | [−1,1] | f−1(x)=arccos(x) |
| tan(x) | ]−Π2,Π2[ | R | f−1(x)=arctan(x) |
Ableitung von Umkehrfunktionen
Umkehrfunktionen kannst du mit den üblichen Ableitungsregeln ableiten. Oft ist ein alternativer Weg aber leichter, als die Funktion wie gewohnt abzuleiten. Du kannst nämlich die Ableitung der Umkehrfunktion auch mit folgender Formel bilden:
(f−1)′(y)=1f′(f−1(y))
Das sieht vielleicht etwas kompliziert aus. Daher gleich ein Beispiel:
f(x)=x3 (Alternativ können wir auch schreiben: y=x3.)
Wir bilden die Ableitung:
f′(x)=3x2 (Auch hier: y′=3x2)
Außerdem brauchen wir noch die Umkehrung von x3, die wir in einem vorherigen Abschnitt bereits berechnet haben:
f−1(y)=3√y
Wir setzen in die Formel ein:
(f−1)′(y)=13(3√y)2
Fertig ist die Ableitung der Umkehrfunktion!
Wie viele x-Werte dürfen in der Umkehrfunktion einem y-Wert zugeordnet werden?