Kurvendiskussion

Im Matheunterricht wirst du sicher früher oder später eine komplette Kurvendiskussion durchführen müssen. Fällt dir das noch schwer? Keine Sorge, wir zeigen dir hier alle Schritte der Kurvendiskussion im Überblick und an einem konkreten Beispiel. Wenn das nicht reicht, kannst du dir zu jedem Schritt der Kurvendiskussion noch eine ausführlichere Erklärung mit weiteren Beispielen durchlesen. Über die Inhaltsübersicht kannst du direkt zu den einzelnen Schritten der Kurvendiskussion springen.

Folgende 12 Schritte brauchen wir für die Kurvendiskussion:

1. Die ersten drei Ableitungen bilden
2. Definitionsbereich bestimmen
3. y-Achsenabschnitt berechnen
4. Nullstellen berechnen
5. Grenzwert bestimmen
6. Wertebereich bestimmen
7. Extrempunkte berechnen
8. Monotonieverhalten bestimmen
9. Wendepunkt und Wendetangente berechnen
10. Krümmungsverhalten bestimmen
11. Symmetrie bestimmen
12. Funktionsgraphen zeichnen

Das machen wir jetzt langsam und Schritt für Schritt für die folgende Funktion:

f(x)=23x3+3x2+4x

Für viele weitere Schritte der Kurvendiskussion brauchst du die ersten drei Ableitungen. Deshalb bilden wir sie schon ganz zu Beginn. So sehen unsere Ableitungen aus:

f(x)=23x3+3x2+4x

f′(x)=2x2+6x+4

f′′(x)=4x+6

f′′′(x)=4

Hier erfährst du alles über die Ableitungsregeln.

Bevor du mit der Kurvendiskussion beginnen kannst, musst du zunächst den Definitionsbereich festlegen. Der Definitionsbereich umfasst alle Zahlen, die du für x in deine Funktion einsetzen darfst. Grundsätzlich kannst du davon ausgehen, dass dein Definitionsbereich bei einer Kurvendiskussion die Menge ℝ (reelle Zahlen) ist.

Es gibt jedoch Ausnahmen: Wenn du bestimmte Werte für x nicht einsetzen darfst, dann musst du diese von deinem Definitionsbereich ausnehmen. Hier ein paar Beispiele dafür, wann das der Fall sein kann:

• Bei einer Wurzelfunktion: Aus einer negativen Zahl kannst du innerhalb der reellen Zahlen nicht die Wurzel ziehen. Diese Zahlen (oder die, die zu einem negativen Ergebnis unter der Wurzel führen würden) musst du also ausnehmen.
• Bei einer Logarithmusfunktion: Auch die Logarithmusfunktion funktioniert nur mit positiven Zahlen. Die Null darf ebenfalls nicht vorkommen.
• Bei einer gebrochenrationalen Funktion: Achte darauf, dass im Nenner deines Bruchs keine Null steht bzw. du für x keine Zahlen einsetzt, die in deinem Nenner Null ergeben – denn durch Null darfst du nicht teilen.
  

Prüfen wir nun also noch einmal unsere gewählte Funktion:

f(x)=23x3+3x2+4x

Diese enthält weder eine Wurzel noch einen Logarithmus noch ist sie gebrochenrational. Wir können also als Definitionsbereich zunächst einmal angeben:

D = ℝ

Im dritten Schritt der Kurvendiskussion berechnest du den y-Achsenabschnitt, auch Ordinatenabschnitt genannt. Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, in dem der Graph deiner Funktion die y-Achse schneidet. Um diesen Punkt zu finden, setzen wir in die Funktion x=0 ein: 

f(x)=23x3+3x2+4x

f(0)=2303+02+0x

f(0)=0

Lösung: Deine Funktion schneidet die y-Achse bei y=0.

Lies hier mehr über den y-Achsenabschnitt.

Im vierten Schritt der Kurvendiskussion geht es um die Nullstellen. Die Nullstellen deiner Funktion findest du, indem du deine Funktion gleich Null setzt und sie auflöst. Da der Grad einer Funktion angibt, wie viele Nullstellen sie haben kann, wissen wir für unsere Funktion, dass wir maximal drei Nullstellen finden können:

23x3+3x2+4x=0

Für kubische Funktionen, also Funktionen dritten Grades, ist die Bestimmung der Nullstellen nicht immer so einfach. In diesem Fall können wir aber zumindest schon mal ein x ausklammern:

x⋅(23x2+3x+4)=0

Nun siehst du sofort, dass eine Nullstelle bei x=0 liegen muss, denn setzt du x=0 obenstehende Gleichung ein, erhältst du 0. Es besteht außerdem die Möglichkeit, dass der Term in der Klammer das Ergebnis Null liefert. Wir können also diesen Term ebenfalls gleich Null setzen und schauen, ob wir weitere Nullstellen finden:

23x2+3x+4=0

Diese Gleichung kannst du nun in die Normalform bringen:

23x2+3x+4=0 |⋅32

32⋅23x2+32⋅3x+32⋅4=0

Wir vereinfachen:

x2+4,5x+6=0

Nun können wir die p-q-Formel anwenden, um mögliche Nullstellen zu berechnen:

x1,2=−p2±(p2)2−q−−−−−−−√

Wir setzen ein:

p=4,5

q=6

Da wir für p2  nicht 4,52 schreiben können, erweitern wir den Bruch auf  94.

x1,2=−94±(94)2−6−−−−−−−√

Wir vereinfachen:

x1,2=−94±8116−9616−−−−−−√

x1,2=−94±−1516−−−−√

An dieser Stelle erkennst du: Aus einer negativen Zahl kannst du nicht die Wurzel ziehen. Diese Gleichung ist also nicht lösbar. Daher finden wir keine weiteren Nullstellen. Es bleibt also bei der einen Nullstelle, die wir oben bereits entdeckt haben.

Lösung: Die Funktion f(x)=23x3+3x2+4x hat eine Nullstelle bei x=0.

Erfahre hier mehr darüber, wie du Nullstellen einer Funktion berechnest.

Der Grenzwert einer Funktion zeigt uns, wie die Funktionswerte sich im Unendlichen verhalten. Um den Grenzwert herauszufinden, können wir mit einer Wertetabelle arbeiten. Wir wissen bereits, dass bei x=0 die Kurve die y-Achse bei y=0 schneidet. Wir testen weitere Werte, indem wir diese für x einsetzen und damit y berechnen:

f(x)=23x3+3x2+4x

Anhand der Wertetabelle kannst du deutlich erkennen: Wenn die x-Werte gegen plus unendlich streben, tun es auch die y-Werte, und wenn die x-Werte gegen minus unendlich streben, ist das auch für die y-Werte so.

Wir schreiben also:

f(x)=23x3+3x2+4x=+∞

f(x)=23x3+3x2+4x=−∞

Noch unklar? Dann lies hier mehr über den Grenzwert.

Der Wertebereich gibt an, welche y-Werte deine Funktion annehmen kann. Um den Wertebereich bestimmen zu können, musst du zunächst die Grenzwerte deiner Funktion betrachten. Das hast du bereits getan und weißt nun, dass deine y-Werte sowohl gegen plus unendlich als auch gegen minus unendlich streben können. Auch handelt es sich nicht um eine gebrochenrationale Funktion mit eventuellen Polstellen. Daher kann deine Funktion jeden y-Wert annehmen.

Die Lösung lautet also: W = ℝ.

Ein wichtiger Teil der Kurvendiskussion ist es, die Extrempunkte zu berechnen. Extrempunkte kann es nur da geben, wo die Steigung der Funktion gleich Null ist. Wir finden diese möglichen Extremstellen also mithilfe der ersten Ableitung heraus, die wir gleich Null setzen:

f′(x)=2x2+6x+4 

2x2+6x+4=0

Wir können diese Gleichung in die Normalform bringen und mit der p-q-Formel lösen. Da wir die p-q-Formel aber nun schon einmal zur Lösung verwendet haben, probieren wir es diesmal doch mit der Mitternachtsformel:

x1/2=−b±b2−4ac√2a

Wir setzen ein:

x1/2=−6±62−4⋅2⋅4√2⋅2

Wir vereinfachen:

x1/2=−6±36−32√4

x1/2=−6±4√4

x1,2=−6±22

x1=−1

x2=−2

Wir haben nun zwei potenzielle Extremstellen gefunden. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um Hochpunkte oder Tiefpunkte handelt, müssen wir diese noch in die zweite Ableitung einsetzen:

f′′(x)=4x+6

Wir setzen ein:

f′′(−1)=4⋅(−1)+6

f′′(−1)=−4+6

f′′(−1)=2

Da 2 größer als Null ist, wissen wir, dass bei x=−1 ein Tiefpunkt liegt.

Nun setzen wir noch x=−2 ein: 

f′′(x)=4x+6

f′′(−2)=4⋅(−2)+6

f′′(−2)=−8+6

f′′(−2)=−2

Da –2 kleiner als Null ist, haben wir bei x=−2 einen Hochpunkt entdeckt.

Wir berechnen nun noch die y-Koordinaten der beiden Extrempunkte, indem wir die gefundenen Extremstellen (x-Werte) in die ursprüngliche Gleichung einsetzen:

f(x)=23x3+3x2+4x

f(−1)=23⋅(−1)3+3⋅(−1)2+4⋅(−1)

f(−1)=−23+3−4

f(−1)=−53

Nun ermitteln wir noch die y-Koordinate für die Extremstelle bei x=−2:

f(x)=23x3+3x2+4x

f(−2)=23⋅(−2)3+3⋅(−2)2+4⋅(−2)

f(−2)=23⋅(−8)3+3⋅4−8

f(−2)=−163+4

f(−2)=−163+123

 f(−2)=−43

Wir haben also einen Tiefpunkt bei T (–1|−53) und einen Hochpunkt bei H (−2|−43).

Hast du noch Fragen? Dann erfahre hier mehr darüber, wie man Hoch- und Tiefpunkte berechnet.

Auch das Bestimmen der Monotonie einer Funktion gehört zu einer Kurvendiskussion dazu. Da wir aber zuerst die Hoch- und Tiefpunkte berechnet haben, ist dieser Schritt nicht mehr schwierig. Wir wissen ja bereits:

Bei x=−2 liegt ein Hochpunkt und bei x=−1 liegt ein Tiefpunkt. 

Daher wissen wir auch, dass von minus unendlich bis x=−2 die Kurve ansteigen muss. Sie erreicht dort den Hochpunkt und fällt anschließend wieder ab bis zum Tiefpunkt bei x=−1. Nach dem Tiefpunkt muss sie zwingend wieder steigen, und zwar bis plus unendlich.
Wir brauchen also gar nicht mehr zu rechnen, sondern können allein durch logisches Denken schon das Monotonieverhalten der Funktion beschreiben:

]−∞,−2] streng monoton steigend

[−2,−1] streng monoton fallend

[−1,∞[ streng monoton steigend

Damit sind wir schon fertig! Ist dir ein komplizierterer Fall begegnet? Dann lies hier mehr über die Monotonie von Funktionen.

Wenn deine Funktion Wendepunkte hat, solltest du diese im Verlauf der Kurvendiskussion ebenfalls herausfinden. In Wendepunkten ändert die Kurve ihr Krümmungsverhalten. Die Bedingungen für Wendepunkte lauten:

f′′′(xW)=0

f′′′(xW)≠0 (hinreichende Bedingung)

Um eventuelle Wendepunkte zu finden, müssen wir also die zweite Ableitung gleich Null setzen:

f′′′(x)=4x+6

4x+6=0 |–6

4x=−6 |:4

x=−64=−32

Wir haben also nur einen möglichen Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen Wendepunkt handelt, brauchen wir die dritte Ableitung:

f′′′(x)=4

Da die dritte Ableitung ungleich Null ist (und wir hier auch unser Ergebnis −32 gar nicht mehr einsetzen können), wissen wir: Hier gibt es tatsächlich einen Wendepunkt, und zwar bei x=−1,5.

Wir berechnen zu diesem Wendepunkt nun noch den y-Wert, indem wir x=−1,5 in die ursprüngliche Funktion einsetzen:

f(x)=23x3+3x2+4x

f(−1,5)=23⋅(−1,5)3+3⋅(−1,5)2+4⋅(−1,5)

Wir vereinfachen:

f(−1,5)=23⋅(−3,375)+3⋅2,25−6

f(−1,5)=−2,25+6,75−6

f(−1,5)=−1,5

Lösung: Die Funktion hat einen Wendepunkt bei W (−1,5|−1,5).

Für diesen Wendepunkt berechnen wir nun noch die Wendetangente. Dazu setzen wir zunächst unseren x-Wert für die Wendestelle in die erste Ableitung ein, um so die Steigung in diesem Punkt zu ermitteln:

f′(x)=2x2+6x+4

f′(−1,5)=2⋅(−1,5)2+6⋅(−1,5)+4

f′(−1,5)=4,5−9+4

f′(−1,5)=−0,5

Wir kennen nun also die Steigung f′(xW), die wir jetzt zusammen mit den Koordinaten unseres Wendepunkts in die Punktsteigungsform einsetzen können:

yW=f′(xW)⋅(x−xW)+yW

yW=(−0,5)⋅[x−(−1,5)+(−1,5)]

Wir vereinfachen:

yW=(−0,5)⋅x

yW=−0,5x

Das ist die Gleichung für unsere Wendetangente!

Brauchst du noch eine Auffrischung? Dann lies mehr darüber, wie du Wendepunkte findest und die Wendetangente berechnest.

Zum Krümmungsverhalten der Kurve wissen wir bereits einiges. Wir wissen, dass es einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt gibt und dass eine Kurve in solchen Extrempunkten ihr Krümmungsverhalten nicht ändert. Wir wissen außerdem, dass es einen Wendepunkt gibt, und Wendepunkte sind die Punkte, in denen das Krümmungsverhalten sich in der Tat ändert. Wir brauchen daher nur die Wendepunkte zu überprüfen.

Tatsächlich könnten wir uns das Krümmungsverhalten der Kurve sogar erschließen. Denn wir wissen ja bereits, dass bei x=−2 ein Hochpunkt liegt, bei x=−1,5 ein Wendepunkt und bei x=−1 ein Tiefpunkt. Wenn du dir das bildlich vorstellst, kann sich die Kurve somit nur vom Hochpunkt aus einer Rechtskrümmung heraus in eine Linkskrümmung hin zum Tiefpunkt krümmen.

Dennoch belegen wir das der Vollständigkeit halber und zur Überprüfung noch einmal mathematisch. Die Regel für das Krümmungsverhalten lautet:

f′′′(xW)>0

Die Kurve krümmt sich von rechts nach links, es handelt sich um einen Rechts-links-Wendepunkt.

f′′′(xW)<0

Die Kurve krümmt sich von links nach rechts, es handelt sich um einen Links-rechts-Wendepunkt.

Da die dritte Ableitung f′′′(x)=4 ist, brauchen wir hier nichts einzusetzen und auch nicht zu rechnen. Wir sehen sofort: Die Kurve krümmt sich von links nach rechts, unser Wendepunkt ist also ein Rechts-links-Wendepunkt. Unsere Denkweise war also richtig!

Auch eine eventuelle Symmetrie der Funktion musst du im Rahmen einer Kurvendiskussion überprüfen. Die zwei einfachsten Regeln dafür lauten:

• Achsensymmetrie zur y-Achse: f(−x)=f(x)
• Punktsymmetrie zum Ursprung: f(−x)=−f(x)

Diese können wir also leicht überprüfen. Wir beginnen mit der Achsensymmetrie und ermitteln f(−x):

f(x)=23x3+3x2+4x

f(−x)=23⋅(−x3)+3⋅(−x)2+4⋅(−)x

Wir vereinfachen:

f(−x)=−23x3+3x2−4x

Wie du siehst, stimmt die Gleichung f(x)=f(−x) nicht. Es liegt also keine Achsensymmetrie zur y-Achse vor. Prüfen wir als Nächstes die Punktsymmetrie zum Ursprung. f(−x) haben wir bereits ermittelt. Wir brauchen zum Vergleich noch −f(−x):

f(x)=23x3+3x2+4x

−f(x)=−(23x3+3x2+4x)

−f(x)=−23x3−3x2−4x

Auch diese Gleichungen stimmen nicht überein. Wir prüfen als Nächstes auf Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse. Achsensymmetrie an einer beliebigen Achse h liegt vor, wenn gilt:

f(h−x)=f(h+x)

Für h (die beliebige Achse) kommen unsere Extremstellen infrage. Diese liegen bei x=−2 und x=−1. Wir beginnen mit x=−2. Wir berechnen zuerst f(h−x):

f(h−x)=23⋅(−2−x)3+3⋅(−2−x)2+4⋅(−2−x)

Wir vereinfachen:

f(h–x)=23⋅[(4+4x+x2)⋅(–2–x)]+3⋅(4+4x+x2)–8–4x

f(h–x)=23⋅[(–8)–8x–2x2–4x–4x2–x3]+12+12x+3x2–8–4x

f(h–x)=23⋅(–x3–6x2–12x–8)+3x2+8x+4

f(h–x)=−23⋅x3−4x2−8x−163+3x2+8x+4

f(h–x)=−23x3−x2−43

Nun müssen wir zum Vergleich noch f(h+x) ermitteln: 

f(h+x)=23⋅(−2+x)3+3⋅(−2+x)2+4⋅(−2+x)

f(h+x)=23⋅[(4–4x+x2)⋅(–2+x)]+3⋅(4–4x+x2)–8+4x

f(h+x)=23⋅[(–8)+8x–2x2+4x–4x2+x3]+12–12x+3x2–8+4x

f(h+x)=23⋅(x3–6x2+12x–8)+3x2–8x+16

f(h+x)=23⋅x3–4x2+8x–163+3x2–8x+16

f(h+x)=23x3−x2+323

Wir vergleichen:

f(h–x)=−23x3−x2−43

f(h+x)=23x3−x2+323

Die Gleichungen sind nicht gleich. Für die Achse an der Extremstelle x=−2 können wir also keine Achsensymmetrie feststellen.

Wir prüfen nun noch unsere zweite Extremstelle bei x=−1 auf dieselbe Weise.

f(h−x)=23⋅(–1–x)3+3⋅(–1–x)2+4⋅(–1–x)

f(h−x)=23⋅(–x3–3x2–2x–2)–4–4x

f(h−x)=23x3−2x2−43x−43−123−123x

f(h−x)=23x3−2x2−163x−163

Und wir ermitteln zum Vergleich  f(h+x):

f(h+x)=23⋅(–1+x)3+3⋅(–1+x)2+4⋅(–1+x)

f(h+x)=23⋅(x3–3x2+3x–1)–4+4x

f(h+x)=23x3–2x2+2x−23−123+123x

f(h+x)=23x3–2x2+6x−143

Das Ergebnis: Die beiden Gleichungen sind nicht gleich. Auch für die Achse an unserer Extremstelle x=−1 liegt also keine Achsensymmetrie vor. 

Wir haben nur noch eine letzte Möglichkeit: Punktsymmetrie an einem beliebigen Punkt. Hier kommt unser Wendepunkt bei W (–1,5|–1,5) infrage. Für die Symmetrie in einem beliebigen Punkt gilt:

f(a+x)−b=−(f(a−x)−b)

Wir setzen für a und b jeweils –1,5 bzw. −32 ein und berechnen zunächst f(a+x)−b:

f(a+x)−b = 23⋅[(−32)+x]3+3⋅(−32+x)2+4⋅(−32+x)−(−32)]

 =23⋅(−32+x)⋅(−32+x)⋅(−32+x)+3⋅(−32+x)⋅(−32+x)−6+4x+32

=23⋅(94−32x−32x+x2)⋅(−32+x)+3⋅(94−32x−32x+x2)+4x−92

=23⋅(x2−3x+94)⋅(−32+x)+3⋅(x2−3x+94)+4x−92

=23⋅(−32x2+92x−278+x3−3x2+94x)+3x2−9x+274+4x−92

=23⋅(x3−92x2+274x−278)+3x2−5x+94

=23x3−3x2+92x−94+3x2−5x+94

=23x3−12x

Und nun berechnen wir noch −[f(a−x)−b]: 

 −[f(a−x)−b] = −[23⋅(−32−x)3+3⋅(−32−x)2+4⋅(−32−x)−(−32)]

=−[23⋅(−32−x)⋅(−32−x)⋅(−32−x)+3⋅(−32−x)⋅(−32−x)+4⋅(−32−x)+32]