Asymptoten – online lernen
Wenn du in deine gebrochen-rationale Funktion unendlich große und unendlich kleine Werte einsetzt, dann erhälst du Informationen über das Globalverhalten. Ebenso musst du beachten, ob es Definitionslücken gibt, das ist dann immer ein Hinweis auf Asymptoten, dies sind Geraden, an die sich eine Funktion annähert, aber die niemals erreicht werden.
Differenzierbarkeit am Graph erkennen
Ob eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist oder nicht, kann man manchmal am Graphen erkennen.
Hat eine Funktion z.B. einen „Knick“, einen „Sprung“ oder einen eingeschränkten Definitionsbereich, so muss sie nicht überall differenzierbar sein.
Beispiele:
Gebrochenrationale Funktionen
Globalverlauf, Asymptoten
Eine gebrochenrationale Funktion f(x)
f(x)=p(x)q(x)=azxz+az−1xz−1+...+a1x+a0bnxn+bn−1xn−1+...+b1x+b0
z
Eine Asymptote ist eine Funktion, derer sich die zu untersuchenden Funktion annähert, wenn die Funktionsvariable x
z
Es gilt:
- z<n:limx→±∞f(x)=0, d.h. y=0ist waagerechte Asymptote
- z=n:limx→±∞f(x)=azbn, d.h. y=azbnist waagerechte Asymptote
- z>n:limx→±∞f(x)=±∞, wobei das Vorzeichen von azbngilt.
Im Fall z>n
- z−ngerade: es gilt dasselbe Globalverhalten wie bei x→∞
- z−nungerade: Das Vorzeichen ist entgegensetzt zu x→∞
Beispielaufgabe:
Bestimme das Globalverhalten und, falls vorhanden, die Asymptoten folgender Funktionen:
a) f(x)=3x4−1+x54x5−17
Lösung:
z=5;n=5;azbn=14
Für x→±∞:f(x)→14⇒
b) g(x)=2−4x+3x311x7+2x4−3
Lösung:
z=3;n=7
Für x→±∞:g(x)→0⇒
c) h(x)=x6+3x−3x2+2
Lösung:
z=6;n=2;z−n=4;azbn=1
für x→±∞:h(x)→∞
Globalverhalten und Asymptoten
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 5853
Globalverhalten und Asymptoten
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 1015
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 5854
Gebrochenrationale Funktionen | Schwierigkeitsgrad: 1 | |||
Globalverhalten und Asymptoten | Serie 02 | |||
Aufgabe 1 | ||||
Bestimme das Globalverhalten und gib zusätzlich die Gleichungen der waagerechten bzw. senkrechten Asymptoten (falls vorhanden) der folgenden Graphen an. | ||||
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Aufgabe 2 | ||||
Bestimme die Gleichung der waagerechten (y) und senkrechten (x) Asymptote sowie das Globalverhalten der folgenden Funktionen. | ||||
a) f(x)=4x+1−1 b) g(x)=xx2−4 c) h(x)=x2x3+8 d) p(x)=x+1x2+x+1 e) q(x)=4x−1x3+27−2 | ||||
Aufgabe 3 | ||||
Zeichne die Funktionen aus Aufgabe 2 und kontrolliere anhand der Graphen deine Rechnungen bezüglich des Globalverhalten und der Asymptoten. | ||||
