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Definitionslücken

Definitionsbereich – online lernen

Bei gebrochen-rationalen Funktionen musst du besonders beachten, dass du Definitionslücken hast. Eine Funktion kann mehrere haben, arbeite also sehr sorgfältig!

Wiki zum Thema: Definitionslücken

Definitionslücken

Gebrochenrationale Funktionen

f (x) = \frac{p (x)}{q (x)}

können Definitionslücken aufweisen. Definitionslücken sind Stellen, die nicht im Definitionsbereich enthalten sind, weil der Nenner

q (x)

dafür Null werden würde:

x_{i}

ist Definitionslücke von

f (x) \Leftrightarrow q (x_{i}) = 0

Man findet sie also, indem man den Nenner mit Null gleichsetzt.

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Polstellen und hebbare Definitionslücken.

Bei einer hebbaren Lücke

x_{i}

ist zusätzlich zum Nenner auch der Zähler 0 und die Lücke wird zum „Loch“.

Bei einer Polstelle

x_{i}

ist der Zähler ungleich 0.

Beispielaufgabe:

Bestimme die Definitionslücken und ihre Art.

f (x) = \frac{2 x^{2} + x - 1}{(x - 1) (x + 4)}

Lösung:

Nullstellen des Nenners

q (x)

sind

x_{1} = 1

und

x_{2} = - 4

p (1) = 2 \cdot 1^{2} + 1 - 1 = 2 \neq 0,

p (- 4) = 2 \cdot (- 4)^{2} - 4 - 1 = 27 \neq 0

x_{1} = 1

und

x_{2} = - 4

sind Polstellen.

g (x) = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 2 x - 15}

Lösung:

q (x) = 0 \Rightarrow + x^{2} - 2 x - 15 = 0 \underset{p q - F o r m e l}{⟹} x_{1} = - 3; x_{2} = 5

p (- 3) = (- 3)^{2} + 6 \cdot (- 3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0,

p (5) = 5^{2} + 6 \cdot 5 + 9 = 64 \neq 0

x_{1} = - 3

ist hebbare Lücke,

x_{2} = 5

ist Polstelle.

Arbeitsblätter

Definitionslücken

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 5850

Gebrochenrationale Funktionen

Schwierigkeitsgrad: 1

Definitionslücken

Serie 02

Aufgabe 1

Gegeben seien die Graphen von 3 gebrochen rationalen Funktionen. Bestimme ihre Definitionslücken anhand der Graphen.

Aufgabe 2

Bestimme die Definitionslücken der folgenden Funktionen.

a) $f (x) = \frac{1}{x} + 2$

b) $g (x) = - \frac{x + 2}{x^{2} - 1}$

c) $h (x) = - \frac{x}{(x + 2) (x - 1)}$

d) $r (x) = \frac{3 (x^{3} + 2 x + 1)}{x^{3} - 8}$

e) $s (x) = \frac{(x + 1) (x + 2) (x + 3)}{(x - 1) (x - 2) x}$

f) $p (x) = \frac{(x + 3) (x^{2} + 2)}{x^{3} - x}$

Aufgabe 3

Bestimme den Definitionsbereich der nachfolgenden Funktionen in der Form $D_{f} = R ∖ {x_{1}, x_{2}, . . . x_{n}}$ .

a) $f (x) = \frac{(x^{2} + 2)}{(x - 1) (x^{2} - 2)} + \frac{1}{x + 3} + 1$

b) $g (x) = \frac{2 x^{2} - 8}{(x^{2} + 2 x + 2)} + \frac{7 x}{x + 1}$

c) $h (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x}{x^{3}} - \frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 2} - (x + 4)$

Definitionslücken

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 1012

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 5851

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 1013

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 5852

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 1014

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