Asymptoten bestimmen - Waagerecht & Senkrecht - online lernen

Waagerechte und senkrechte Asymptoten rechnerisch
bestimmen

Unter einer Asymptote wird eine Funktion verstanden, die sich einer anderen Funktion bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert.

Wir unterscheiden vier Arten von Asymptoten (senkrecht, waagerecht, schief und die asymptotische Kurve). Anhand der folgenden zwei Abbildungen sollen die Begriffe der senkrechten und waagerechten Asymptote verdeutlicht werden.

a) Senkrechte Asymptote

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft senkrecht (siehe rote Linie).

b) Waagrechte Asymptote

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft waagrecht (siehe rote Linie).

Wie berechnet man nun eine solche Asymptote?

Dazu muss zunächst geklärt werden, wann eine gebrochenrationale Funktion überhaupt eine Asymptote besitzt.

a) Eine gebrochenrationale Funktiony=anxn+an−1xn−1+...+a1x1+a0bmxm+bm−1xm−1+...+b1x1+b0 besitzt eine senkrechte Asymptote, wenn der Nenner gleich Null wird. Dabei entsprechen die Nullstellen des Nenners den Definitionslücken.

In diesem Fall ermittelt man die Asymptote also durch die Bestimmung der Nullstellen.

b) Bei der waagerechten Asymptote ist es etwas schwieriger. Um zu überprüfen, ob eine gebrochenrationale Funktion eine waagrechte Asymptote besitzt, betrachtet man hier den Zählergrad bzw. den Nennergrad. Unter dem Zählergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Zähler vorkommt und entsprechend versteht man unter dem Nennergrad die höchste Potenz, die im Nenner vorkommt. Dann besitzt eine gebrochenrationale Funktion y=anxn+an−1xn−1+...+a1x1+a0bmxm+bm−1xm−1+...+b1x1+b0 eine waagrechte Asymptote, wenn...

1.) …der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Also n<m. In diesem Fall ist dann die x-Achse die waagrechte Asymptote.
oder

2.) …der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist. Also n=m. In diesem Fall ist die zur x-Achse parallele Gerade mit der Gleichung y=anbm die waagrechte Asymptote.

Hier gibt es also zwei Schritte zur Bestimmung der Asymptote. Zunächst muss man den Zählergrad und Nennergrad bestimmen und die obige Voraussetzung prüfen. Anschließend kann man die Asymptote wie bei 1.) und 2.) erläutert berechnen.

Beispiele:

Eine gebrochenrationale Funktion kann sowohl eine senkrechte als auch eine waagerechte Asymptote besitzen, wie das folgenden Beispiel zeigen soll.

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion f(x)=1x−1.

a) Der Nenner der Funktion f(x) hat die Nullstelle x=1 und besitzt somit eine Asymptote, die senkrecht durch x=1 verläuft.

b) Da der Zählergrad (0) kleiner ist als der Nennergrad (1), besitzt die Funktion eine waagrechte Asymptote und zwar die x-Achse.