Schräge Symptoten & Näherungskurven bestimmen - online lernen

Schräge Asymptoten und Näherungskurven rechnerisch
bestimmen

Hier soll es jetzt um die schräge (bzw. schiefe) Asymptote sowie um die asymptotische Kurve gehen, die anhand der folgenden zwei Abbildungen zunächst einmal verdeutlicht werden.

a) Schiefe bzw.Schräge Asymptote

Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft schräg (siehe rote Linie).

b) Asymptotische Kurve

Kurve, der sich eine andere Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert (siehe grüne Kurve).

Wie berechnet man nun eine solche Asymptote?

Dazu muss zunächst geklärt werden, wann eine gebrochenrationale Funktion überhaupt eine Asymptote besitzt.

a) Um zu überprüfen, ob eine gebrochenrationale Funktion eine schräge Asymptote besitzt, betrachtet man den Zählergrad bzw. den Nennergrad. Die Funktion besitzt genau dann eine schräge Asymptote, wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad +1 gilt. Also n=m+1 .

In anderen Worten:Ist der Zählergrad um eins größer als der Nennergrad, so besitzt die Funktion eine schräge Asymptote. Zur Berechnung der schrägen Asymptote geht man also folgendermaßen vor:

1.) Zählergrad und Nennergrad bestimmen und dabei die Voraussetzung für schräge Asymptote überprüfen.

2.) Die gesuchte Gleichung der schrägen Asymptote erhalten wir, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen. Hierbei wendet man also Polynomdivision an.

3.) Falls ein rest entsteht, so muss noch eine Grenzwertbetrachtung durchgeführt werden.

b) Auch hier betrachtet man wieder den Zähler- und Nennergrad, um zu überprüfen, ob die Funktion eine aysmptotische Kurve besitzt. In diesem Fall muss für die Existenz gelten, dass der Zählergrad größer ist als der Nennergrad +1. Also n>m+1.

Anschließend geht man für die Bestimmung der Asymptote genauso vor wie in a) beschrieben.

Beispiele

Wir betrachten die Funktion f(x)=x2x+1. Wir wollen überprüfen, ob die Funktion eine schräge Asymptote hat und gehen dazu die einzelnen Schritte der Reihe nach durch.

1.) Wir überprüfen, ob die Funktion überhaupt eine Asymptote hat, indem wir den Zähler- und Nennergrad vergleichen. Da der Zählergrad (2) um eine Einheit größer ist als der Nennergrad (1), besitzt die Funktion eine schräge Asymptote.

2.) Die Gleichung der schrägen Asymptote bestimmen wir, indem wir Polynomdivision durchführen. Wir erhalten:

x2:(x+1)=x−1+1x+1

3.) Da der Nennergrad im Restglied 1x+1 größer ist als der Zählergrad, müssen wir noch eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Dabei wird deutlich, dass dieser Restterm für sehr große x-Werte immer kleiner wird und sich der Null annähert, denn limx→+∞(1x+1)=0. Der Graph der Funktion strebt deshalb gegen die schräge Asymptote mit der Gleichung y=x−1.