y-Achsenabschnitt berechnen

Als Teil der Kurvendiskussion wirst du häufig den y-Achsenabschnitt berechnen müssen. Damit ist der Punkt gemeint, in dem deine Funktion die y-Achse schneidet. Man nennt dies auch den Ordinatenabschnitt. So sieht es im Graphen aus:

Noch ein Beispiel:

Den y-Achsenabschnitt zu berechnen, ist zum Glück gar nicht schwierig. Denn: Die Funktion schneidet die y-Achse immer bei x=0$x=0$. Du musst also nur x=0$x=0$ in deine Funktion einsetzen. Die Rechnung wird dadurch sehr einfach. In vielen Fällen kannst du den y-Achsenabschnitt sogar direkt anhand der Funktionsgleichung ablesen. Wir haben für dich ganz viele Beispiele parat!

Lineare Funktionen haben die Form f(x)=a⋅x+b$f(x)=a\cdot x+b$, wobei a$a$ der Faktor ist, mit dem x$x$ multipliziert wird, und b$b$ das Absolutglied. Zum Beispiel:

f(x)=3x+5$f(x)=3x+5$

Nun setzt du x=0$x=0$ ein:

f(0)=3⋅0+5=5$f(0)=3\cdot 0+5=5$

Welcher Faktor auch immer vor dem x$x$ steht – durch das Einsetzen von x=0$x=0$ bleibt am Ende nur das Absolutglied übrig. An diesem kannst du also den y-Achsenabschnitt bei linearen Funktionen direkt ablesen. Easy, oder?

Quadratische Funktionen lassen sich so schreiben: f(x)=a⋅x2+b⋅x+c$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Auch hier siehst du bereits: Wenn wir für x=0$x=0$ einsetzen, bleibt nur das Absolutglied c$c$ übrig. Dazu ein Beispiel:

f(x)=6x2−3x+2$f(x)={6x}^2-3x+2$
f(0)=6⋅02+3⋅0+2$f(0)=6\cdot 0^2+3\cdot 0+2$
f(0)=2$f(0)=2$

Eine gebrochenrationale Funktion hat sowohl im Zähler als auch im Nenner ein x$x$ – oder auch mehrere. So könnte sie zum Beispiel aussehen:

f(x)=x3−2x+3x+1$f(x)=\frac{x^3-2x+3}{x+1}$

Auch hier kannst du relativ problemlos x=0$x=0$ einsetzen:

f(0)=03−2⋅0+30+1$f(0)=\frac{0^3-2\cdot 0+3}{0+1}$

f(0)=31=3$f(0)=\frac{3}{1}=3$

Es gibt hier nur einen Sonderfall, den du beachten musst – nämlich den, wenn dein Ergebnis im Nenner eine 0$0$ ist. Erinnere dich: Durch Null darf man nicht teilen. In diesem Fall ist also die gebrochenrationale Funktion für x=0$x=0$ nicht definiert. Das heißt, sie schneidet die y-Achse dann nicht, es gibt also keinen y-Achsenabschnitt.

Der Graph der Funktion sieht dann zum Beispiel so aus:

Exponentialfunktionen haben die Form f(x)=a⋅bx$f(x)=a\cdot b^x$. Auch hier kannst du den y-Achsenabschnitt sehr leicht berechnen bzw. ablesen, denn eine Zahl hoch Null ist immer eins.

Beispiel:

60=1$6^0=1$

Wenn wir also x=0$x=0$ einsetzen, bleibt übrig:

f(x)=a⋅bx$f(x)=a\cdot b^x$
f(0)=a⋅b0$f(0)=a\cdot b^0$
f(0)=a⋅1=a$f(0)=a\cdot 1=a$

Die Zahl a$a$ entspricht also deiner y-Koordinate.

Beispiel:

f(x)=3⋅5x$f(x)=3\cdot 5^x$
f(0)=3⋅50$f(0)=3\cdot 5^0$
f(0)=3⋅1=3$f(0)=3\cdot 1=3$

Das gilt übrigens auch für die e-Funktion: Auch e0$e^0$ wird zu 1$1$.

Beispiel:

f(x)=2⋅ex$f(x)=2\cdot e^x$
f(0)=2⋅e0$f(0)=2\cdot e^0$
f(0)=2⋅1=2$f(0)=2\cdot 1=2$

Selbst bei der Logarithmusfunktion ist es ganz einfach, den y-Achsenabschnitt zu bestimmen. Du musst dir nur Folgendes merken:

Steht der Logarithmus aber nicht allein, dann kann es durchaus einen y-Achsenabschnitt geben.

Beispiel:

f(x)=ln(x+9)$f(x)=\ln (x+9)$
f(0)=ln(0+9)$f(0)=\ln (0+9)$
f(0)=ln(9)≈2,18$f(0)=\ln (9)\approx 2,18$ (Benutze dafür deinen Taschenrechner!)

Prima! Nun kannst du den y-Achsenabschnitt verschiedener Funktionen berechnen – oder ihn einfach anhand der Gleichung ablesen.

Den y-Achsenabschnitt berechnest du wahrscheinlich als Teil der Kurvendiskussion. Diese umfasst natürlich noch weitere Schritte. Zu jedem einzelnen haben wir für dich ausführliche Erklärungen und viele Aufgaben zum Üben zusammengestellt. Hier findest du sie:

• Kurvendiskussion
• Ableitung
• Ableitungsregeln
• Extremstellen berechnen
• Hoch- und Tiefpunkte
• Monotonie
• Wendepunkt berechnen
• Wendetangente berechnen
• Sattelpunkt berechnen