Winkel im Dreieck – online lernen

Trigonometrie im allgemeinen Dreieck

Allgemeine Dreiecke und auch alle anderen Vielecke lassen sich durch einzeichnen geeigneter Zusatzlinien (wie z. B. Höhen) in rechtwinklige Dreiecke zerlegen. In diesen können dann die trigonometrischen Beziehungen angewandt werden.

Hinweis: In allgemeinen Dreiecken gelten noch weitere Beziehungen, nämlich der Sinussatz und der Kosinussatz. Da diese nicht in allen Schulen besprochen werden, werden sie hier ausgelassen.

Skizze:

Beispiel: Berechne die Höhe h_c eines allgemeinen Dreiecks mit der Seite a = 5 cm und dem Winkel β = 73°.

Der Kosinussatz

Der Kosinussatz gilt in allgemeinen Dreiecken. Er kann in zwei Fällen angewandt werden:

• Um die Länge der Seite eines Dreiecks zu berechnen, wenn man die beiden anderen Seiten kennt und den Winkel, der der fehlenden Seite gegenüberliegt.
• Um bei drei bekannten Seitenlängen die fehlenden Winkel des Dreiecks zu bestimmen.

Der Kosinussatz lautet:

c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ)

Analog gilt für die beiden anderen Seiten:

a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)
b2=a2+c2−2ac⋅cos(β)

Beweis des Satzes:

Gegeben ist ein allgemeines Dreieck ABC

Ziel ist es nun, die Seite c

Da h

c2=q2+h2

Mit q2=(a−p)2=a2−2ap+p2

c2=(a2−2ap+p2)⏟= q2+(b2−p2)⏟= h2=a2+b2−2ap

Außerdem gilt im rechten Teildreieck

cos(γ)=pb⇒p=b⋅cos(γ)

Setzt man dies in die Formel davor ein, erhält man die bekannte Formel

c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ)

Für die beiden anderen Seiten läuft der Beweis nach dem gleichen Prinzip.

Beispielaufgabe:

Ein allgemeines Dreieck hat die Seitenlängen a=6cm;b=9cm und den Winkel γ=76∘.

Berechne die Länge der Seite c.

Lösung:

c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ)=62+92−2⋅6⋅9⋅cos(76∘)≈36+81−26,13≈90,87Rightarrowc≈9,53

Die Länge der Seite c

Der Sinussatz

Der Sinussatz beschreibt Verhältnisse von Seiten zu Winkeln in einem beliebigen Dreieck.

Er lautet:

asin(α)=bsin(β)=csin(γ)

Aus zwei Seiten und einem zugehörigen Winkel kann man somit den entsprechenden anderen Winkel berechnen.

Umgekehrt kann man aus zwei Winkeln und einer dazugehörenden Seite auch die andere entsprechende Seitenlänge berechnen.

Beweis des Satzes:

Man zeichnet im obigen Dreieck die Höhe hc

sin(α)=hcb⇒hc=sin(α)⋅b

Gleichsetzen liefert dann

sin(α)⋅b=sin(β)⋅a

Nach Division durch sin(α)

asin(α)=bsin(β)

Mit b

asin(α)=bsin(β)=csin(γ)

Beispielaufgabe:

Bei einem allgemeinen Dreieck sind bekannt: a=6cm;α=42∘;β=66∘

Lösung:

asin(α)=bsin(β)∣⋅sin(β)fracasin(α)⋅sin(β)=b∣Einsetzen6cmsin(42∘)⋅sin(66∘)=b8,19cm≈b