Normalenform Ebene – online lernen

Ebenen

Normalenform

Die Normalenform ist eine weitere Darstellungsart von Ebenen im Raum. Sie lautet

E:(→x−→p)⋅→n=0

Dabei ist →p ein Stützvektor der Ebene, also der Ortsvektor eines Punktes, der in der Ebene liegt.
→n ist ein Normalenvektor der Ebene.

Für →x kann man nun die Ortsvektoren beliebiger Punkte X(x1∣x2∣x3) in die Gleichung einsetzen.
Entsteht dadurch eine wahre Aussage, gilt X∈E, andernfalls nicht.

Geometrisch betrachtet, berechnet man in der Klammer den Verbindungsvektor zwischen dem Ortsvektor des eingesetzten Punktes und dem Aufsatzpunkt →p der Ebene. Nur wenn der eingesetzte Punkt Teil der Ebene ist, liegt auch der berechnete Verbindungsvektor innerhalb der Ebene. Dieser steht dann senkrecht zum Normalenvektor der Ebene, das Skalarprodukt beider Vektoren ergibt somit 0.

Skizze:

Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Ebene E:(→x−(101))⋅(2−2−1)=0.

1. Bestimme einen Punkt A, der in E liegt.
2. Prüfe, ob Q(5∣−6∣20) in E enthalten sind.

Lösung:

a. Man setzt x1=x3=0.
Damit lautet das Skalarprodukt −2−2x2+1=0.
Auflösen nach x2 liefert x2=−12.
Der Punkt lautet also A(0∣−12∣0).

Die Punktprobe für A bestätigt das:

((0−120)−(101))⋅(2−2−1)=0⇔(−1−12−1)⋅(2−2−1)=0⇒−2+1+1=0

b. Punktprobe für Q:

((5−620)−(101))⋅(2−2−1)=0⇒(4−619)⋅(2−2−1)=0⇒1=0⇒Q∉E