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Höhen- & Kathetensatz

Höhensatz Aufgaben – online lernen

Mit dem Höhen- und dem Kathetensatz kannst du noch viel mehr Sachen im rechtwinkligen Dreieck berechnen, als du es mit dem "Satz des Pythagoras" schon jetzt kannst.

Wiki zum Thema: Höhen- & Kathetensatz

Der Kathetensatz

Die Seitenhöhe

h

teilt in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse

c

in zwei Abschnitte: der Hypotenusenabschnitt

p

liegt unterhalb der Kathete

a

, der Hypotenusenabschnitt

q

unterhalb der Kathete

b

Der Kathetensatz besagt dann, dass ein Kathetenquadrat flächengleich zu dem Rechteck aus dem darunterliegenden Hypotenusenabschnitt und der Hypotenuse ist.

Damit gilt also

a^{2} = p \cdot c und b^{2} = q \cdot c

Beweis des Satzes:

h

senkrecht auf

c

steht, gilt mit dem Satz des Pythagoras

a^{2} = p^{2} + h^{2}

b^{2} = q^{2} + h^{2}

Nach dem Satz des Euklid (Höhensatz) gilt außerdem

h^{2} = p \cdot q

Setzt man dies in die oberen Formeln ein, erhält man

a^{2} = p^{2} + p \cdot q = p \cdot (p + q)

b^{2} = q^{2} + p \cdot q = q \cdot (p + q)

Da außerdem

(p + q) = c

gilt, erhält man also

a^{2} = p \cdot c

b^{2} = q \cdot c

Beispielaufgabe:

In einem rechtwinkligen Dreieck seien die Kathete $a = 6 c m$ und die Hypotenuse $c = 10 c m$ gegeben.
Wie groß sind die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ ?

Lösung:

Wir stellen die Formel nach $p$ um:

\begin{aligned} a^{2} & = p \cdot c & ∣ : c \\ \frac{a^{2}}{c} & = p & ∣ E i n s e t z e n \\ \frac{(6 c m)^{2}}{10 c m} & = p \\ 3, 6 c m & = p \end{aligned}

Mit $c = p + q$ folgt

\begin{aligned} c & = p + q & ∣ - q \\ c - p & = q & ∣ E i n s e t z e n \\ 10 c m - 3, 6 c m & = q \\ 6, 4 c m & = q \end{aligned}

Satz des Euklid

Zeichnet man in einem rechtwinkligen Dreieck die Höhe

h

zur Hypotenuse

c

ein, so entstehen die beiden Hypotenusenabschnitte

p

und

q

(siehe Zeichnung rechts). Der mit dem Satz des Pythagoras verwandte Satz des Euklid, auch bekannt unter dem Namen Höhensatz, besagt dann:

„Der Flächeninhalt des Rechtecks, das mit den beiden Seitenlängen der Hypotenusenabschnitte

p

und

q

gebildet werden kann, ist gleich groß ist wie der Flächeninhalt des Quadrats, das aus der Höhe der Hypotenuse gebildet werden kann.“

Die Formel für den Satz des Euklid lautet somit

h^{2} = p \cdot q

Kennt man zum Beispiel beide Hypotenusenabschnitte, kann man daraus dann die Höhe des Dreiecks berechnen.

Beweis des Satzes:

h

im gegebenen Dreieck senkrecht auf

c

steht, gilt mit dem Satz des Pythagoras

a^{2} = h^{2} + p^{2}

b^{2} = h^{2} + q^{2}

Mit

c = p + q

folgt außerdem

c^{2} = (p + q)^{2} = p^{2} + 2 p q + q^{2}

Nach dem Satz des Pythagoras gilt

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Einsetzen der zuvor berechneten Ausdrücke in diese Formel ergibt

\begin{aligned} \underset{= a^{2}}{\underset{⏟}{(h^{2} + p^{2})}} + \underset{= b^{2}}{\underset{⏟}{(h^{2} + q^{2})}} & = \underset{= c^{2}}{\underset{⏟}{p^{2} + 2 p q + q^{2}}} & | - p^{2} - q^{2} \\ h^{2} + h^{2} & = 2 p q \\ 2 h^{2} & = 2 p q \\ h^{2} & = p q \end{aligned}

Dies ist genau die obenstehende Formel.

Beispielaufgabe:

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt die Hypotenusenabschnitte

p = 20 c m

und

q = 5 c m

.
Wie lang ist die Höhe

h

Lösung:

Mit

h^{2} = p \cdot q \Rightarrow h = \sqrt{p \cdot q}

erhält man

h = \sqrt{20 \cdot 5} c m = 10 c m

Arbeitsblätter

Höhen- und Kathetensatz
Arbeitsblatt-Nr. 6803
Mathematik 9 Satz des Pythagoras Höhen- und Kathetensatz
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 10711
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 6801
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 2211
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 655
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 10712
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 2212
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 6802
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 656
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 10713
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 2213
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 657
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 6803

Satz des Pythagoras

Höhen- und Kathetensatz

Serie 04 / Schwierigkeitsgrad 3

Aufgabe 1

Die Wäscheleine wird zwischen zwei Pfosten gespannt, die 15 m voneinander entfernt stehen. In der Mitte der Wäscheleine hängt ein Kleiderbügel mit einem Kleidungsstück. Dadurch wird die Wäscheleine 1,2 m hinuntergezogen. Wie lang ist die Wäscheleine?

Aufgabe 2

Berechne die fehlenden Größen. Runde auf die zweite Nachkommastelle.

a	b	c	h	p	q
$\sqrt 256$ cm				14,66cm
		$\sqrt[3]{125} cm$			3,75 cm
			5 m	12,5 m
		20 km	5000 m
		$\frac{128}{5}$ cm			$\frac{217}{25}$ cm
	$∛ 980$ cm			19,04 cm
			$\sqrt[5]{3125}$ cm	2,7 cm

Aufgabe 3

Ein Tischler möchte von einer runden Holzscheibe jeweils rechts und links 5 mm abschleifen. Der Radius beträgt 6 cm. Fertige eine Skizze an. Wie lang sind die Kanten, die durch das Abschleifen entstehen?

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Videos

Höhensatz mit Dennis

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