Gauß Verfahren in Gleichungssystemen – online lernen

Gleichungssysteme lösen

3x3

Lineare Gleichungssysteme (LGS) löst man mit dem Gauß-Verfahren: Eine Zeile wird übertragen. Durch sogenannte elementare Zeilenumformungen eliminiert man aus zwei Zeilen die gleiche Variable. Anschließend eliminiert man mit den zwei neuen Zeilen eine weitere Variable, bis man Dreiecksform erreicht hat.

Aus der letzten Zeile bestimmt man x3$x_3$, das man in der vorletzten Zeile einsetzt um x2$x_2$ zu bekommen. x2$x_2$ und x3$x_3$, eingesetzt in die erste Zeile, ergeben x1$x_1$. Die Lösung gibt man als Vektor oder mithilfe der Lösungsmenge an:

Beispiel: Löse die linearen Gleichungssysteme:

Die Bernoulli-Kette

Die Formel von Bernoulli oder Bernoulli-Kette ist ein Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Die Voraussetzung für ihre Benutzung ist ein Zufallsexperiment, bei dem sich während des Experiments die Treffer-Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei einer Durchführung, nicht ändert (Ziehen mit Zurücklegen).

Die Formel lautet:

P(X=k)=B(n,k,p)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k$P(X=k)=B(n,k,p)={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$

• n bezeichnet die Länge der Kette, also die Anzahl der Versuche. „Wie oft wird das Experiment durchgeführt?“
• k bestimmt die Anzahl der Erfolge. „Wie oft glückt das Experiment?“
• p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit oder auch Trefferwahrscheinlichkeit.
• P ist die Gesamtwahrscheinlichkeit. „Wie wahrscheinlich ist es, dass das Experiment bei n Durchführungen k-fach, bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p, glückt?“
• (nk)${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$ bezeichnet den sogenannten Binomialkoeffizienten. Er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass bei einer Anzahl von Durchführungen Treffer erzielt werden.
• pk$p^k$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit potenziert mit der Anzahl der Erfolge.
• (1−p)n−k$(1-p{)}^{n-k}$ ist die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Diese folgt daraus, dass von Versuchen das Experiment nur k-mal Erfolg hat. Die restlichen Versuche sind damit Misserfolge.

Beispielaufgabe:

Ein Würfel wird 4-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei 3-mal die 6 zu würfeln?

Gaußverfahren

Lineare Gleichungssysteme (LGS) löst man mit dem Gauß-Verfahren: Eine Zeile wird übertragen und durch sogenannte elementare Zeilenumformungen eliminiert man aus zwei Zeilen dieselbe Variable. Anschließend eliminiert man mit den zwei neuen Zeilen eine weitere Variable, bis man eine Dreiecksform erreicht hat.

a1x1b1x1c1x1+++a2x2b2x2c2x2+++a3x3b3x3c3x3===a4b4c4 ⇒ ∗x1+∗x2∗x2++∗x3∗x3x3===∗∗∗$\begin{array}{ccccccc}{a}_1{x}_1& +& a_2{x}_2& +& a_3{x}_3& =& a_4\\ b_1{x}_1& +& b_2{x}_2& +& b_3{x}_3& =& b_4\\ c_1{x}_1& +& c_2{x}_2& +& c_3{x}_3& =& c_4\end{array}\Rightarrow \begin{array}{ccccccc}\ast x_1& +& \ast x_2& +& \ast x_3& =& \ast \\ & & \ast x_2& +& \ast x_3& =& \ast \\ & & & & x_3& =& \ast \end{array}$

Bei mehr Gleichungen bzw. mehr Variablen benötigt man entsprechend mehr Schritte. Dennoch versucht man, die untere Dreiecksform zu erhalten, um durch Rückwärtseinsetzen die Lösungen zu erhalten. Entsteht durch Umformung eine falsche Aussage, so ist das LGS nicht lösbar. Entsteht eine Nullzeile, so hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispielaufgabe:

Löse das folgende LGS:

x1−x1−x1+−+2x25x2x2−−+x34x32x3===8−120$\begin{array}{rcrcrcr}{x}_1& +& 2x_2& -& x_3& =& 8\\ -x_1& -& 5x_2& -& 4x_3& =& -12\\ -x_1& +& x_2& +& 2x_3& =& 0\end{array}$

Lösung:

x1−x1−x1+−+2x25x2x2−−+x34x32x3===8−120$\begin{array}{rcrcrcr}{x}_1& +& 2x_2& -& x_3& =& 8\\ -x_1& -& 5x_2& -& 4x_3& =& -12\\ -x_1& +& x_2& +& 2x_3& =& 0\end{array}$

⟹(1)+(3)(1)+(2) x1+−2x23x23x2−−+x35x31x3===8−48$\stackrel{(1)+(2)}{\underset{(1)+(3)}{⟹}}\begin{array}{rcrcrcr}{x}_1& +& 2x_2& -& x_3& =& 8\\ & -& 3x_2& -& 5x_3& =& -4\\ & & 3x_2& +& 1x_3& =& 8\end{array}$

⟹(2)+(3) x1+−2x23x2−−−x35x34x3===8−44$\underset{(2)+(3)}{⟹}\begin{array}{rcrcrcr}{x}_1& +& 2x_2& -& x_3& =& 8\\ & -& 3x_2& -& 5x_3& =& -4\\ & & & -& 4x_3& =& 4\end{array}$

⇒x3=4−4=−1$\Rightarrow x_3=\frac{4}{-4}=-1$ in (3)$(3)$
⇒x3=−1$\Rightarrow x_3=-1$ in (2)$(2)$ einsetzen: −3x2+5=−4⇒x2=3$-3x_2+5=-4\Rightarrow x_2=3$
⇒x3=−1;x2=3$\Rightarrow x_3=-1;x_2=3$ in (1)$(1)$ einsetzen: x1+6+1=8⇒x1=1$x_1+6+1=8\Rightarrow x_1=1$
⇒ L={(1,3,−1)}$\Rightarrow \mathbb{L}=\{(1,3,-1)\}$