Funktionsgleichung

Funktionen, Funktionsgleichungen, Funktionsgraphen – diese Begriffe können manchmal ganz schön durcheinander gehen. Dabei ist es eigentlich ganz einfach:

• Die Funktion gibt an, auf welche Weise jeder x-Wert eindeutig einem y-Wert zugeordnet wird. Die Funktion bezeichnen wir, wie du es bereits kennst, mit f(x)$f(x)$.
• Die Funktionsgleichung ist der Teil, der hinter dem Gleichheitszeichen steht. Hast du beispielsweise die Funktion f(x)=x²+3x–2$f(x)=x²+3x–2$ gegeben, so ist die eigentliche Funktionsgleichung x²+3x–2$x²+3x–2$. Häufig wird allerdings auch der gesamte Ausdruck f(x)=x²+3x–2$f(x)=x²+3x–2$ als Funktionsgleichung bezeichnet.
• Der Funktionsgraph stellt die Funktion im Koordinatensystem bildlich dar. Für unsere Funktion f(x)=x²+3x–2$f(x)=x²+3x–2$ sieht der Funktionsgraph so aus:

Ab und zu wirst du auf Aufgaben stoßen, die dich auffordern, die Funktionsgleichung zu ermitteln. Manchmal hast du dabei den Funktionsgraphen gegeben, manchmal einige Punkte oder andere Hilfen. Hier zeigen wir dir, wie du für lineare und quadratische Funktionen auf unterschiedlichen Wegen die Funktionsgleichung bestimmen oder berechnen kannst.

Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form f(x)=m⋅x+t$f(x)=m\cdot x+t$. Dabei gilt:

• m bezeichnet die Steigung der Funktion.
• t bezeichnet den y-Achsenabschnitt, also den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse.

Je nachdem, welche Hilfen du gegeben hast, hast du nun unterschiedliche Möglichkeiten, die Funktionsgleichung zu bestimmen.

Möglichkeit 1: Die Gleichung am Graphen ablesen

Erinnere dich an die allgemeine Form linearer Funktionen: f(x)=m⋅x+t$f(x)=m\cdot x+t$.

Du kannst anhand des Graphen direkt den y-Achsenabschnitt ablesen: Hier liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse bei y=1$y=1$. Somit haben wir t bereits ermittelt.

Wie berechnen wir nun m? Die Steigung des Graphen kannst du mithilfe des Steigungsdreiecks berechnen. Du siehst hier, dass du für einen „Schritt“ auf der x-Achse zwei „Schritte“ entlang der y-Achse machen musst. Die Strecke entlang der x-Achse bezeichnen wir mit Δx${∆}_x$, die Strecke entlang der y-Achse mit Δy${∆}_y$. Nun kannst du mithilfe der folgenden Formel die Steigung ausrechnen:

m=ΔyΔx$m=\frac{{∆}_y}{{∆}_x}$

Setzen wir also ein:

m=21=2$m=\frac{2}{1}=2$

Jetzt können wir t und m in die Funktionsgleichung einsetzen und erhalten unsere Funktion:

f(x)=2x+1$f(x)=2x+1$

Prima! Schauen wir uns jetzt an, welche Möglichkeiten du hast, wenn du den Graphen der Funktion nicht kennst.

Möglichkeit 2: Die Gleichung anhand eines Punkts und des y-Achsenabschnitts aufstellen

Diesmal haben wir folgende Informationen gegeben:

• einen Punkt P (2|3)
• den y-Achsenabschnitt bei –3$–3$

Erinnere dich noch einmal an die allgemeine Form linearer Funktionen: f(x)=m⋅x+t$f(x)=m\cdot x+t$

Wir haben hier also t=–3$t=–3$ direkt gegeben. Nun brauchen wir noch die Steigung m. Wir wissen, dass gilt: f(x)=y$f(x)=y$, daher können wir den x- und y-Wert unseres gegebenen Punkts in die allgemeine Form einsetzen und erhalten dann:

3=m⋅2–3$3=m\cdot 2–3$

Jetzt können wir problemlos nach m auflösen:

3=m⋅2–3$3=m\cdot 2–3$     |+3$|+3$

6=2m$6=2m$             |:2$|:2$

m=3$m=3$

Somit erhalten wir die Funktionsgleichung:

f(x)=3x–3$f(x)=3x–3$

Schauen wir uns noch eine letzte Möglichkeit an!

Möglichkeit 3: Die Gleichung mithilfe zweier Punkte aufstellen

Nehmen wir an, du hast folgende zwei Punkte im Koordinatensystem gegeben:

P₁ (2|3)

P₂ (0|–3)

Mithilfe der allgemeinen Form linearer Funktionen kannst du nun ein lineares Gleichungssystem aufstellen:

f(x)=m⋅x+t$f(x)=m\cdot x+t$

Statt f(x)$f(x)$ können wir auch y$y$ schreiben und daher den y-Wert eines Punkts einsetzen. Für x$x$ verwenden wir natürlich den x-Wert. So erhalten wir:

(I)  3=2m+t$3=2m+t$

(II) –3=0m+t$–3=0m+t$

Aus der zweiten Gleichung kannst du sehr leicht t ableiten:

(II)  –3=0m+t$–3=0m+t$

        t=–3$t=–3$

Setzen wir nun t=–3$t=–3$ in die erste Gleichung ein, um auch m zu ermitteln:

(I)  3=2m−3$3=2m-3$     |+3$|+3$

      6=2m$6=2m$

      m=3$m=3$

Und wir erhalten die bereits bekannte Funktionsgleichung:

f(x)=3x–3$f(x)=3x–3$

Prima! Lass uns als Nächstes herausfinden, wie du Funktionsgleichungen auch bei quadratischen Funktionen bestimmen kannst.

Das Vorgehen ist bei quadratischen Funktionen ganz ähnlich. Wichtig ist hier vor allem, im Kopf zu behalten, dass der Graph einer quadratischen Funktion immer eine Parabel darstellt. Das eröffnet uns beim Berechnen nämlich spannende Möglichkeiten. Außerdem solltest du auch die allgemeine Form quadratischer Funktionsgleichungen kennen. Sie lautet:

f(x)=ax²+bx+c$f(x)=ax²+bx+c$

Fangen wir also an!

Möglichkeit 1: Die Gleichung am Graphen ablesen und berechnen

Betrachten wir folgenden Funktionsgraphen:

Du kannst hier den Scheitelpunkt der Kurve – also den Extrempunkt, in diesem Fall ein Tiefpunkt – ablesen. Er liegt bei S (–1|1). Außerdem kannst du einen weiteren Punkt bei P (0|2) ablesen.

Hier hilft dir die Scheitelpunktform weiter. Sie lautet:

f(x)=a(x−xs)2+ys$f(x)=a(x-x_s{)}^2+y_s$

Was bedeuten diese Zeichen? Die Werte für xs$x_s$ und ys$y_s$ kennst du bereits: Es sind die Werte des bekannten Scheitelpunkts. Mit deren Hilfe können wir auch die Variable a$a$ berechnen. Wir können einsetzen:

f(x)=a(x–(–1))2+1$f(x)=a(x–(–1){)}^2+1$

Da wir einen weiteren Punkt P (0|2) gegeben haben, können wir zusätzlich auch dessen Werte einsetzen:

2=a(0+1)2+1$2=a(0+1{)}^2+1$

Diese Gleichung können wir nun nach a$a$ auflösen:

2=a(0+1)2+1$2=a(0+1{)}^2+1$  |–1$|–1$

1=a(0+1)2$1=a(0+1{)}^2$        |:(0+1)2$|:(0+1{)}^2$

a=1(0+1)2=1$a=\frac{1}{(0+1{)}^2}=1$

Da wir jetzt a$a$ ermittelt haben, haben wir alle Werte für die Scheitelpunktform vorliegen und können daher die Funktionsgleichung aufstellen:

f(x)=1(x–(–1))2+1$f(x)=1(x–(–1){)}^2+1$

Schließlich können wir diese Gleichung noch vereinfachen:

f(x)=1(x+1)2+1$f(x)=1(x+1{)}^2+1$

        =x2+2x+2$=x^2+2x+2$

Fertig ist die Funktionsgleichung! Diese Methode kannst du natürlich auch nutzen, wenn du zwar nicht den Graphen, dafür aber jedoch direkt den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt gegeben hast.

Möglichkeit 2: Die Gleichung mithilfe dreier Punkte berechnen

Erinnere dich an die allgemeine Form quadratischer Funktionen: f(x)=ax2+bx+c$f(x)=a{x}^2+bx+c$

P₁ (–2,5|4)
P₂ (0|–1)
P₃ (1|4)

Aus diesen Punkten kannst du nun das lineare Gleichungssystem aufstellen, indem du für x$x$ und y$y$ die jeweiligen Werte einsetzt:

(I)  4=a⋅(–2,5)2+b⋅(–2,5)+c$4=a\cdot (–2,5{)}^2+b\cdot (–2,5)+c$

(II) –1=a⋅02+b⋅0+c$–1=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$

(III)4=a⋅12+b⋅1+c$4=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$

Du siehst: Die zweite Gleichung lässt sich einfach nach c$c$ auflösen:

(II) –1=a⋅02+b⋅0+c$–1=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$

     –1=c$–1=c$

Wir setzen c$c$ in eine der anderen Gleichungen ein, um a$a$ zu ermitteln:

(III)4=a⋅12+b⋅1+(–1)$4=a\cdot 1^2+b\cdot 1+(–1)$

     4=a+b–1|+1$4=a+b–1|+1$

     5=a+b$5=a+b$

     a=5–b$a=5–b$

Und schließlich setzen wir a$a$ und c$c$ in die verbleibende Gleichung ein, um auch b$b$ zu bestimmen:

(I)  4=(5–b)⋅(–2,5)2+b⋅(–2,5)+(–1)$4=(5–b)\cdot (–2,5{)}^2+b\cdot (–2,5)+(–1)$

     4=(5–b)⋅6,25–2,5b–1$4=(5–b)\cdot 6,25–2,5b–1$

     4=31,25–6,25b–2,5b–1$4=31,25–6,25b–2,5b–1$ |–30,25$|–30,25$

    –26,25=–8,75b$–26,25=–8,75b$                      |:(–8,75)$|:(–8,75)$

    b=3$b=3$

Da wir wissen, dass a=5–b$a=5–b$ ist, können wir nun auch a$a$ leicht berechnen:

a=5–b$a=5–b$

a=5–3$a=5–3$

a=2$a=2$

Fertig ist unsere Funktionsgleichung. Sie lautet:

f(x)=2x2+3x–1$f(x)=2x^2+3x–1$

Diese Methode funktioniert auch, wenn du einen beliebigen Punkt und zwei Nullstellen einer quadratischen Funktion gegeben hast. Denn die Nullstellen lassen sich ja auch als Punkte schreiben. Hast du zum Beispiel Nullstellen bei x1=2$x_1=2$ und x2=−3$x_2=-3$, dann heißen deine beiden Nullstellen als Punkte:

N₁ (2|0)

N₂ (–3|0)

Damit kannst du das oben erklärte Verfahren anwenden. Nun weißt du, wie du Funktionsgleichungen auf verschiedenen Wegen bestimmen kannst!