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Substitution (ganzrational)

Substitution – online lernen

Substitution ist ein anderes Wort für "Ersetzen". Du kennst die Substitution schon von anderen Berechnungen. Hier lernst du die Substitution bei der Integralrechnung kennen.

Wiki zum Thema: Substitution (ganzrational)

Integration

Ganzrationale Substitution

Findet man durch die uns bekannten Wege bei einer Funktion keine Stammfunktion, gibt es eine Integrationsmethode, wodurch man durch Substitution (Ersetzen) eine Stammfunktion finden kann.

Beispielaufgabe:

Bestimme das Integral

\int_{1}^{2} (2 x - 4)^{5} d x

Lösung:

Da es relativ mühsam ist, die Potenz auszurechnen, ersetzt man das Innere der Klammer durch eine frei gewählte Variable, hier

u

u = 2 x - 4

Auch das

d x

muss substituiert werden. Hierzu bilden wir die Ableitung

u^{'} = \frac{d u}{d x}

\begin{aligned} \frac{d u}{d x} & = 2 & | \cdot d x \\ d u & = 2 d x & | \div 2 \\ f r a c d u 2 & = d x \end{aligned}

Zum Schluss ersetzen wir unsere bisherigen Integrationsgrenzen, indem wir sie in

u = 2 x - 4

einsetzen.

Untere Grenze:

u (1) = 2 \cdot 1 - 4 = - 2

,
Obere Grenze:

u (2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0

Wenn wir alles ersetzen, dann erhalten wir:

\int_{1}^{2} (2 x - 5)^{5} d x \underset{Substitution}{⟹} \int_{- 2}^{0} u^{5} \frac{d u}{2}

Dann integrieren wir, wie bekannt:

\int_{- 2}^{0} u^{5} \frac{d u}{2} = \int_{- 2}^{0} \frac{1}{2} u^{5} d u = [\frac{1}{12} u^{6}]_{- 2}^{0} = \frac{1}{12} \cdot 0^{6} - (\frac{1}{12} \cdot (- 2)^{6}) = - \frac{64}{12} = - \frac{16}{3}

Arbeitsblätter

Substitution (ganzrational)
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 6984
Substitution
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 5814
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 6985
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 5815
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 977
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 6986
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 5816
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 978

Integrationsregeln / Stammfunktionsbildung

Schwierigkeitsgrad: 1

Substitution linear und nicht linear

Serie 03

Aufgabe 1

Bilde die Stammfunktion F ( x ) zu der angegebenen Funktion f ( x ).

a) $f (x) = (x + 2)^{2}$	b) $f (x) = (x - 4)^{3}$
c) $f (x) = \frac{1}{(x - 2)}$	d) $f (x) = \sqrt{x + 3}$
e) $f (x) = e^{x + 1}$	f) $f (x) = \frac{3}{4 x + 1}$

Aufgabe 2

Überprüfe ob die folgenden Funktionen korrekt integriert wurden.

a) $f (x) = (x^{2} + x)^{2}$	$F (x) = \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + c$
b) $f (x) = e^{2 x + 1}$	$F (x) = e^{2 x + 1} + c$
c) $f (x) = 3 e^{4 + 2 x}$	$F (x) = \frac{3}{2} e^{4 + 2 x} + c$
d) $f (x) = (2 x - x^{2})^{3}$	$F (x) = \frac{1}{4} (2 x - x^{2})^{4}$
e) $f (x) = \frac{1}{(x - 3)^{2}}$	$F (x) = \frac{1}{3 x - 1} + c$
f) $f (x) = \frac{1}{(x - 3)^{2}}$	$F (x) = \frac{1}{3 - x} + c$

Aufgabe 3

Bestimme das angegebene Integral. Runde dabei auf eine Nachkommastelle.

a) $\int_{0}^{1} (\frac{1}{2} x + 4)^{3} d x$	b) $\int_{0}^{2} e^{4 x - 1} d x$
c) $\int_{1}^{2} 4 e^{4 - x} d x$	d) $\int_{- 1}^{1} \frac{1}{3} e^{2 x + 7} d x$
e) $\int_{\frac{1}{8}}^{2} (x - 5)^{- 2} d x$	f) $\int_{- 1}^{0} \frac{4}{(2 x - \frac{1}{2})^{2}} d x$

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