e-Funktion integrieren

Die e-Funktion gehört zu den Exponentialfunktionen. Sie wird auch die natürliche Exponentialfunktion genannt. Du bist ihr bestimmt schon begegnet. So sieht die e-Funktion aus:

f(x)=ex

Wie du vielleicht von den Ableitungsregeln noch weißt, ist es sehr leicht, die e-Funktion abzuleiten:

f(x)=ex
f′(x)=ex

Wie sieht es mit dem Integrieren aus? Die Integration ist das Gegenstück zur Ableitung ­– hier bildest du stattdessen die Stammfunktion. Für die reine e-Funktion ist die Integration ganz einfach:

f(x)=ex
F(x)=ex+C

Hier kommt also lediglich die eventuelle Integrationskonstante C hinzu. Doch was passiert, wenn du einen komplizierteren Exponenten hast? Dann benötigst du spezielle Integrationsregeln, um die e-Funktion zu integrieren. Wie du die Stammfunktionen dennoch berechnen kannst, zeigen wir dir hier anhand von Beispielen.

Wie beim Ableiten mit der Faktorregel bleibt ein Vorfaktor in Kombination mit der e-Funktion auch beim Integrieren erhalten. Anders musst du vorgehen, wenn ein Produkt aus zwei Teilfunktionen vorliegt, wie zum Beispiel hier:

f(x)=4x⋅ex

In diesem Fall brauchen wir eine spezielle Integrationsregel, und zwar die partielle Integration (auch Produktintegration genannt):

∫f(x)dx=g⋅h−∫g′⋅hdx

Wir müssen also die Teilfunktionen g und h sowie die Ableitung von g und die Stammfunktion von h ermitteln, dann alles in die Formel einsetzen und das Ergebnis berechnen. Dazu gehen wir in vier Schritten vor. 

Schritt 1: Teilfunktionen ermitteln

Unsere Funktion f(x)=4x⋅ex besteht aus zwei Teilfunktionen, die gemeinsam ein Produkt bilden. Wir nennen sie g und h.

g=4x
h=ex

Schritt 2: Ableitung von g und Stammfunktion von h berechnen

Wir wollen nun die restlichen Teile berechnen, die wir später zum Einsetzen in die Formel brauchen. Wir kennen bereits unsere beiden Teilfunktionen:

g=4x
h=ex

Außerdem benötigen wir die Ableitung von g und die Stammfunktion von h. Letzteres ist ganz einfach die Stammfunktion von ex:

g′=4
∫exdx=ex+C

Nun haben wir alle Teile beisammen und können einsetzen.

Schritt 3: Teilfunktionen in die Formel der partiellen Integration einsetzen

Jetzt können wir die Stammfunktion unserer ursprünglichen Funktion bilden:

∫f(x)dx=g⋅h−∫g′⋅hdx
∫f(x)dx=4x⋅ex−∫4⋅exdx

Schritt 4: Unbestimmtes Integral bilden

Nun bilden wir noch das unbestimmte Integral, um letztendlich die Stammfunktion unserer ursprünglichen Funktion zu erhalten. Den Vorfaktor 4 können wir vor das Integral ziehen, da ein Vorfaktor laut der Integrationsregeln erhalten bleibt. Somit müssen wir nur noch das Integral von ex bilden, und das kennen wir ja bereits: ex+C. Unser Ergebnis lautet also:

∫f(x)dx=4x⋅ex−4⋅ex+C

Um die Gleichung weiter zu vereinfachen, können wir zum Schluss noch 4ex ausklammern und erhalten dann:

F(x)=4ex(x−1)+C

Fertig! Schauen wir uns noch einen anderen möglichen Fall an.

Was passiert, wenn du eine Funktion gegeben hast, die beispielsweise f(x)=e4x lautet? In diesem Fall handelt es sich um eine verkettete Funktion. Würden wir diese Funktion ableiten, würden wir die Kettenregel benutzen. Da wir hier aber integrieren, benötigen wir das Gegenstück zur Kettenregel zum Integrieren, und das ist die Substitutionsregel. 

Der Sinn der Substitutionsregel ist es, einen schwierig zu integrierenden Ausdruck zunächst zu ersetzen, dann die Integration nun auf vereinfachte Weise durchzuführen und schließlich den ursprünglich ersetzten Ausdruck wieder einzusetzen. So sieht die Substitutionsregel aus:

∫f(x)dx=∫f(φ(z))⋅φ′(z)dz

Vielleicht erkennst du, dass das tatsächlich ein bisschen nach der Kettenregel aussieht. Den vereinfachten Ausdruck, mit dem wir hier rechnen wollen, nennen wir z. Wir ersetzen mit z einfach den Teil, der uns beim Integrieren stört. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

f(x)=e4x

Die Funktion ex könnten wir, wie du bereits weißt, sehr leicht integrieren. Hier stört uns aber der umfangreichere Term 4x beim Integrieren, und so ersetzen wir ihn durch z.

Schritt 1: Störenden Term durch Variable z ersetzen

Wir ersetzen:

4x=z

Diese Gleichung können wir nach x auflösen:

x=14z

Durch Umstellen der Substitutionsregel wissen wir außerdem, dass das unserem φ(z) entspricht. Also:

φ(z)=14z

Davon bilden wir gleich noch die Ableitung, wobei wir z beim Ableiten wie eine ganz normale Variable behandeln:

φ′(z)=14

Schritt 2: Integrationsvariable einsetzen

Wir setzen nun unsere Integrationsvariable ein. Aus der Substitutionsregel wissen wir, dass gilt:

dx=φ′(z)dz

φ′(z) kennen wir bereits, und so können wir einsetzen:

dx=14dz

Schritt 3: Substitution vornehmen

Jetzt führen wir die eigentliche Substitution durch, und zwar mit unseren bekannten Ausdrücken:

4x=z
dx=14dz

Daraus folgt:

F(z)=∫ex⋅14dz

Das können wir vereinfachen, indem wir den Vorfaktor 14 vor das Integral ziehen.

 F(z)=14∫exdz

Diese Gleichung können wir einfacher integrieren als unsere ursprüngliche Funktion

Schritt 4: Integration

Hier helfen uns jetzt unsere bekannten Integrationsregeln weiter, denn wir wissen ja bereits, dass die Integration der reinen e-Funktion recht einfach ist:

F(z)=14∫exdz
F(z)=14ex+C

Schritt 5: Substitution rückgängig machen

Nun haben wir die komplizierten Rechnungen auf vereinfachte Weise durchgeführt und können jetzt unseren ursprünglichen Term 4x wieder für unsere Integrationsvariable z einsetzen:

F(z)=14ex+C
F(z)=14e4x+C

Und damit sind wir fertig!