E Funktion – online lernen

Ableitung der e-Funktion

Beweis

Für die e–Funktion gilt:

Zum Beweis erinnern wir uns an die Definition der Zahl

Der Differentialquotient lautet

Wir substituieren nun

Soll nun

Insgesamt gilt also:

Ableitung der e-Funktion

Beispiele

Unter Berücksichtigung von f(x)=ex⇒f′(x)=ex$f(x)=e^x\Rightarrow f^{\prime }(x)=e^x$ und der Kettenregel können wir auch die allgemeine Exponentialfunktion

f(x)=a⋅ek(x−c)+d;a,k,c,d∈R$f(x)=a\cdot e^{k(x-c)}+d;a,k,c,d\in \mathbb{R}$

ableiten. Es gilt:

f′(x)=a⋅k⋅ek(x−c);f′′(x)=a⋅k2⋅ek(x−c)$f^{\prime }(x)=a\cdot k\cdot e^{k(x-c)};f^{″}(x)=a\cdot k^2\cdot e^{k(x-c)}$

Beispielaufgabe:

Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=e−x+1;g(x)=3e2x+2;h(x)=5ex;i(x)=9−e1−2x,$f(x)=e^{-x}+1;g(x)=3e^{2x+2};h(x)=\frac{5}{e^x};i(x)=9-e^{1-2x},$

j(x)=x2ex;k(x)=(3x+1)⋅e2x;l(x)=xex$j(x)=x^2{e}^x;k(x)=(3x+1)\cdot e^{2x};l(x)=\frac{x}{e^x}$

Lösung:

f′(x)=−e−x$f^{\prime }(x)=-e^{-x}$

g′(x)=3⋅2⋅e2x+2=6e2x+2$g^{\prime }(x)=3\cdot 2\cdot e^{2x+2}=6e^{2x+2}$

h(x)=5⋅e−x⇒h′(x)=5⋅(−1)⋅e−x=−5e−x$h(x)=5\cdot e^{-x}\Rightarrow h^{\prime }(x)=5\cdot (-1)\cdot e^{-x}=-5e^{-x}$

i′(x)=−1⋅(−2)⋅e1−2x=2e(1−2x)$i^{\prime }(x)=-1\cdot (-2)\cdot e^{1-2x}=2e^{(1-2x)}$

j,k$j,k$ und l$l$ werden zusätzlich mit der Produktregel gelöst:

j′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x)$j^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=x{e}^x(2+x)$

k′(x)=3e2x+(3x+1)⋅2⋅e2x=e2x(3+(3x+1)⋅2)=e2x(5+6x)$k^{\prime }(x)=3e^{2x}+(3x+1)\cdot 2\cdot e^{2x}=e^{2x}(3+(3x+1)\cdot 2)=e^{2x}(5+6x)$

l(x)=xe−x⇒l′(x)=e−x+x⋅(−1)⋅e−x=e−x(1−x)$l(x)=x{e}^{-x}\Rightarrow l^{\prime }(x)=e^{-x}+x\cdot (-1)\cdot e^{-x}=e^{-x}(1-x)$

Die natürliche Exponentialfunktion

Die Funktion f(x)=ex$f(x)=e^x$, mit der Eulerschen Zahl e≈2,71828$e\approx 2,71828$, heißt natürliche Exponentialfunktion oder auch e-Funktion. Die e-Funktion wächst schneller als jedes Polynom q(x)$q(x)$!

Für

Man sagt auch, die e-Funktion dominiert die ganzrationalen Funktionen.

Skizze:

Funktionsuntersuchung 

e-Funktion

Die speziellen Eigenschaften der e$e$-Funktion machen eine Kurvendiskussion an vielen Stellen einfacher.

Beispielaufgabe:

Untersuche die Funktion f(x)=2e−x−1$f(x)=2e^{-x}-1$ auf Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und ihr Globalverhalten. Zeige, dass f$f$ monoton fallend und linksgekrümmt ist. Fertige eine Skizze an.

Lösung:

Achsenschnittpunkte: f(x)=0$f(x)=0$ und f(0)$f(0)$
2e−x−1=0⇔e−x=12⇔−x=ln(12)⇒Sx(−ln(12)∣0)$2e^{-x}-1=0\iff e^{-x}=\frac{1}{2}\iff -x=\ln (\frac{1}{2})\Rightarrow S_x\left(-\ln (\frac{1}{2})\mid 0\right)$
f(0)=2e0−1=2−1=1⇒Sy(0∣1)$f(0)=2e^0-1=2-1=1\Rightarrow S_y\left(0\mid 1\right)$

Extrempunkte: f′(x)=0$f^{\prime }(x)=0$
Aber: f′(x)=−2e−x≠0⇒$f^{\prime }(x)=-2e^{-x}\ne 0\Rightarrow$ keine Extrempunkte

Wendepunkte: f′′(x)=0$f^{″}(x)=0$
Aber: f′′(x)=2e−x≠0⇒$f^{″}(x)=2e^{-x}\ne 0\Rightarrow$ keine Wendepunkte

Globalverhalten: Für x→∞:f(x)→−1$x\to \mathrm{\infty }:f(x)\to -1$ und für x→−∞:f(x)→∞$x\to -\mathrm{\infty }:f(x)\to \mathrm{\infty }$

Monoton fallend: f′(x)<0$f^{\prime }(x)<0$ muss gelten
f′(x)=−2e−x<0$f^{\prime }(x)=-2e^{-x}<0$ (da e−x>0$e^{-x}>0$ für alle x∈R$x\in \mathbb{R}$) ⇒f$\Rightarrow f$ monoton fallend

Linksgekrümmt: f′′(x)>0$f^{″}(x)>0$ muss gelten
f′′(x)=2e−x>0$f^{″}(x)=2e^{-x}>0$ (da e−x>0$e^{-x}>0$ für alle x∈R$x\in \mathbb{R}$) ⇒f$\Rightarrow f$ ist linksgekrümmt

Skizze:

Variation der e-Funktion

Die Graphen folgender Exponentialfunktionen sollte man auswendig kennen:

Die rot markierten Funktionen e−x$e^{-x}$ (links) und −e−x$-e^{-x}$ (rechts) erhält man jeweils durch Spiegelung der Ausgangsfunktion ex$e^x$ bzw. −ex$-e^x$ an der y$y$-Achse. −ex$-e^x$ erhält man davor durch Spiegelung von ex$e^x$ an der x$x$-Achse.

Die allgemeine Darstellung enthält mehrere Konstanten, die Streckungen oder Verschiebungen bewirken:

a$a$: Streckung in y$y$-Richtung
1b$\frac{1}{b}$: Streckung in x$x$-Richtung
c$c$: Verschiebung in x$x$-Richtung
d$d$: Verschiebung in y$y$-Richtung

Beispielaufgabe:

Beschreibe, wie die Graphen von g(x)=ex−2−1$g(x)=e^{x-2}-1$ und h(x)=3e−x+1$h(x)=3e^{-x}+1$
aus dem Graphen von f(x)=ex$f(x)=e^x$ entstehen.

Lösung:

Zu g$g$: f$f$ wurde um 2$2$ Einheiten nach rechts und um 1$1$ Einheit nach unten verschoben.

Zu h$h$: f$f$ wurde an der y$y$-Achse gespiegelt, mit Faktor 3$3$ in y$y$-Richtung gestreckt und um 1$1$ Einheit nach oben geschoben.