E Funktion – online lernen

Ableitung der e-Funktion

Beweis

Für die e–Funktion gilt:

f(x)=ex⟹f′(x)=ex

Zum Beweis erinnern wir uns an die Definition der Zahl e

e:=limn→∞(1+1n)n

Der Differentialquotient lautet

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0ex+h−exh=ex⋅limh→0eh−1h

Wir substituieren nun eh−1=1t⟹h=ln(1+1t)

Soll nun h→0

limh→0eh−1h=limt→∞eln(1+1t)−1ln(1+1t)|Logarithmusregeln anwenden: eln(x)=x=limt→∞1+1t−1ln(1+1t)|Zusammenfassen=limt→∞1tln(1+1t)|t in Nenner ziehen=limt→∞1t⋅ln(1+1t)|Logarithmusregeln anwenden: x⋅lna=lnax=limt→∞1ln((1+1t)t)|Grenzwerte einzeln berechnen=limt→∞1ln(limt→∞(1+1t)t)|Definition der e-Funktion benutzen=1ln(e)=1|da ln(e)=1

Insgesamt gilt also:

f′(x)=limh→0ex+h−exh=ex⋅limh→0eh−1h=ex⋅1=ex

Ableitung der e-Funktion

Beispiele

Unter Berücksichtigung von f(x)=ex⇒f′(x)=ex und der Kettenregel können wir auch die allgemeine Exponentialfunktion

f(x)=a⋅ek(x−c)+d;a,k,c,d∈R

ableiten. Es gilt:

f′(x)=a⋅k⋅ek(x−c);f″(x)=a⋅k2⋅ek(x−c)

Beispielaufgabe:

Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=e−x+1;g(x)=3e2x+2;h(x)=5ex;i(x)=9−e1−2x,

j(x)=x2ex;k(x)=(3x+1)⋅e2x;l(x)=xex

Lösung:

f′(x)=−e−x

g′(x)=3⋅2⋅e2x+2=6e2x+2

h(x)=5⋅e−x⇒h′(x)=5⋅(−1)⋅e−x=−5e−x

i′(x)=−1⋅(−2)⋅e1−2x=2e(1−2x)

j,k und l werden zusätzlich mit der Produktregel gelöst:

j′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x)

k′(x)=3e2x+(3x+1)⋅2⋅e2x=e2x(3+(3x+1)⋅2)=e2x(5+6x)

l(x)=xe−x⇒l′(x)=e−x+x⋅(−1)⋅e−x=e−x(1−x)

Die natürliche Exponentialfunktion

Die Funktion f(x)=ex, mit der Eulerschen Zahl e≈2,71828, heißt natürliche Exponentialfunktion oder auch e-Funktion. Die e-Funktion wächst schneller als jedes Polynom q(x)!

Für x→∞:exq(x)→∞

Man sagt auch, die e-Funktion dominiert die ganzrationalen Funktionen.

Skizze:

Funktionsuntersuchung 

e-Funktion

Die speziellen Eigenschaften der e-Funktion machen eine Kurvendiskussion an vielen Stellen einfacher.

Beispielaufgabe:

Untersuche die Funktion f(x)=2e−x−1 auf Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und ihr Globalverhalten. Zeige, dass f monoton fallend und linksgekrümmt ist. Fertige eine Skizze an.

Lösung:

Achsenschnittpunkte: f(x)=0 und f(0)
2e−x−1=0⇔e−x=12⇔−x=ln(12)⇒Sx(−ln(12)∣0)
f(0)=2e0−1=2−1=1⇒Sy(0∣1)

Extrempunkte: f′(x)=0
Aber: f′(x)=−2e−x≠0⇒ keine Extrempunkte

Wendepunkte: f″(x)=0
Aber: f″(x)=2e−x≠0⇒ keine Wendepunkte

Globalverhalten: Für x→∞:f(x)→−1 und für x→−∞:f(x)→∞

Monoton fallend: f′(x)<0 muss gelten
f′(x)=−2e−x<0 (da e−x>0 für alle x∈R) ⇒f monoton fallend

Linksgekrümmt: f″(x)>0 muss gelten
f″(x)=2e−x>0 (da e−x>0 für alle x∈R) ⇒f ist linksgekrümmt

Skizze:

Variation der e-Funktion

Die Graphen folgender Exponentialfunktionen sollte man auswendig kennen:

Die rot markierten Funktionen e−x (links) und −e−x (rechts) erhält man jeweils durch Spiegelung der Ausgangsfunktion ex bzw. −ex an der y-Achse. −ex erhält man davor durch Spiegelung von ex an der x-Achse.

Die allgemeine Darstellung enthält mehrere Konstanten, die Streckungen oder Verschiebungen bewirken:

f(x)=a⋅eb(x−c)+d

a: Streckung in y-Richtung
1b: Streckung in x-Richtung
c: Verschiebung in x-Richtung
d: Verschiebung in y-Richtung

Beispielaufgabe:

Beschreibe, wie die Graphen von g(x)=ex−2−1 und h(x)=3e−x+1
aus dem Graphen von f(x)=ex entstehen.

Lösung:

Zu g: f wurde um 2 Einheiten nach rechts und um 1 Einheit nach unten verschoben.

Zu h: f wurde an der y-Achse gespiegelt, mit Faktor 3 in y-Richtung gestreckt und um 1 Einheit nach oben geschoben.