Zusammengesetzte E-Funktionen – online lernen

Wenn eine e-Funktion noch einen ganzrationalen Anteil hat, dann spricht man von einer zusammengesetzten e-Funktion. Hier lernst du, was du bei Ableitungen und Aufleitungen dabei beachten musst und wie du mit ihnen rechnest.

Wiki zum Thema: Zusammengesetzte E-Funktionen

Zusammengesetzte $e$ -Funktionen

Zusammengesetze $e$ -Funktionen können aus einer Polynom- oder ganzrationalen Funktion multipliziert mit einer $e$ -Funktion bestehen.

Allgemein:

$f (x) = g (x) \cdot e^{h (x)}$

$f^{'} (x) = g^{'} (x) \cdot e^{h (x)} + g (x) \cdot e^{h (x)} \cdot h^{'} (x)$

Diese Regel zum Ableiten lässt sich durch Anwendung der Produktregel und Kettenregel zeigen.

Im Beispiel wird vorgerechnet, wie man eine solche Funktion ableitet und ihre Nullstellen berechnet.

Beispielaufgabe:

Bestimme die Nullstellen und die 1. Ableitung von

$f (x) = (x^{2} - 4) \cdot e^{4 x + 1}$ .

Lösung:

Nullstellen:

$f (x) = 0$ :
$0 = (x^{2} - 4) \cdot e^{4 x + 1} ∣ Satz vom Nullprodukt$
$0 = e^{4 x + 1} \lor 0 = x^{2} - 4$

Die erste Gleichung hat keine Lösung, da $e^{x} > 0$ gilt.

Für die zweite Gleichung gilt

\begin{aligned} 0 & = x^{2} - 4 & ∣ + 4 \\ 4 & = x^{2} & ∣ \sqrt{} \\ x & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{aligned}

Die Nullstellen sind also $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 2$ .

Ableitung:

\begin{aligned} f^{'} (x) & = 2 x \cdot e^{4 x + 1} + (x^{2} - 4) \cdot e^{4 x + 1} \cdot 4 \\ = 2 x \cdot e^{4 x + 1} + (4 x^{2} - 16) \cdot e^{4 x + 1} & ∣ e^{4 x + 1} ausklammern \\ = (4 x^{2} + 2 x - 16) \cdot e^{4 x + 1} \end{aligned}

Arbeitsblätter

Zusammengesetzte E-Funktionen
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 5829
Zusammengesetzte E-Funktionen
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 991
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 5830
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 993
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 5831

Exponential- und Logarithmusfunktionen	Schwierigkeitsgrad: 1
Zusammengesetzte Exponentialfunktionen	Serie 02

Aufgabe 1
Bestimme die Nullstellen der folgenden zusammengesetzten Exponentialfunktionen.

$a) f (x) = (x - 1) \cdot e^{x}$ $b) g (x) = (- 2 x + 2) \cdot e^{x}$ $c) h (x) = x^{2} e^{x}$
Aufgabe 2
Bestimme die $\underline{m ö g l i c h e n}$ Extremstellen der folgenden zusammengesetzten Exponentialfunktionen (Produktregel wird benötigt).

$a) f (x) = (x^{2} - 1) e^{x}$ $b) g (x) = x \cdot e^{x}$ $c) h (x) = (x + 1) \cdot e^{x}$ $d) p (x) = (2 x - 2) \cdot e^{x}$
Aufgabe 3
Bestimme das Grenzwertverhalten der Funktionen aus Aufgabe 2. Was fällt auf?

Aufgabe 4
Zeichne die Graphen der Funktionen aus Aufgabe 2. Nutze dazu das Globalverhalten (Grenzwertverhalten), die Extremstellen (welche tatsächliche Extremstellen sind) und gegebenenfalls den Funktionswert an den Extremstellen.

Online lernen schon ab
9 €
pro Monat¹

Schließen

Jetzt Zugang zum Online-LernCenter sichern!

*Pflichtfeld

Die Allgemeinen Geschäftsbedingungen sowie die Datenschutzerklärung habe ich zur Kenntnis genommen und bin mit deren Inhalt einverstanden.

Sie sind bereits Kunde? Jetzt anmelden.

¹ Das Basis-Abo kostet 9 Euro im Monat und das Premium-Abo 19 Euro im Monat.

Interaktive Aufgaben

Mache jetzt einen Wissens-Check und teste deinen Lernstand direkt online.

Du kannst diesen Inhalt sehen, wenn du eingeloggt bist. Hier geht es zum Login. Wenn du noch keinen Zugang hast, kannst du dich jetzt hier registrieren.

Videos

Zusammengesetzte mit Sabrina Teil 2

Zusammengesetzte mit Sabrina Teil 1