Zusammengesetzte E-Funktionen – online lernen

Zusammengesetzte e-Funktionen

Zusammengesetze e-Funktionen können aus einer Polynom- oder ganzrationalen Funktion multipliziert mit einer e-Funktion bestehen.

Allgemein:

f(x)=g(x)⋅eh(x)           

f′(x)=g′(x)⋅eh(x)+g(x)⋅eh(x)⋅h′(x)

Diese Regel zum Ableiten lässt sich durch Anwendung der Produktregel und Kettenregel zeigen.

Im Beispiel wird vorgerechnet, wie man eine solche Funktion ableitet und ihre Nullstellen berechnet.

Beispielaufgabe:

Bestimme die Nullstellen und die 1. Ableitung von

f(x)=(x2−4)⋅e4x+1.

Lösung:

Nullstellen:

f(x)=0:
0=(x2−4)⋅e4x+1∣ Satz vom Nullprodukt
0=e4x+1∨0=x2−4

Die erste Gleichung hat keine Lösung, da ex>0 gilt.

Für die zweite Gleichung gilt
0=x2−4∣+44=x2∣√x=±√4=±2

Die Nullstellen sind also x1=2 und x2=−2.

Ableitung:

f′(x)=2x⋅e4x+1+(x2−4)⋅e4x+1⋅4=2x⋅e4x+1+(4x2−16)⋅e4x+1∣e4x+1 ausklammern=(4x2+2x−16)⋅e4x+1