Ableitung Logarithmus – online lernen

Ableitung der ln-Funktion

Um die Ableitung von g(x)=ln(x)$g(x)=ln(x)$ zu bestimmen, brauchen wir als Hilfsmittel den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion:

Für eine Umkehrfunktion g$g$ einer differenzierbaren Funktion f$f$ mit f′(g(y))≠0$f^{\prime }(g(y))\ne 0$, gilt:

g′(y)=1f′(g(y))$g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(g(y))}$

Die natürliche Logarithmusfunktion g(x)=ln(x)$g(x)=ln(x)$ hat die Umkehrfunktion f(x)=ex$f(x)=e^x$. Aus obiger Formel folgt dann:

g′(x)=1f′(ln(x))=1eln(x)=1x$g^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(ln(x))}=\frac{1}{e^{ln(x)}}=\frac{1}{x}$

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus g(x)=ln(x)$g(x)=ln(x)$ ist also g′(x)=1x$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$.