E Funktion ableiten – online lernen

Ableitung der e-Funktion

Beispiele

Unter Berücksichtigung von f(x)=ex⇒f′(x)=ex$f(x)=e^x\Rightarrow f^{\prime }(x)=e^x$ und der Kettenregel können wir auch die allgemeine Exponentialfunktion

f(x)=a⋅ek(x−c)+d;a,k,c,d∈R$f(x)=a\cdot e^{k(x-c)}+d;a,k,c,d\in \mathbb{R}$

ableiten. Es gilt:

f′(x)=a⋅k⋅ek(x−c);f′′(x)=a⋅k2⋅ek(x−c)$f^{\prime }(x)=a\cdot k\cdot e^{k(x-c)};f^{″}(x)=a\cdot k^2\cdot e^{k(x-c)}$

Beispielaufgabe:

Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=e−x+1;g(x)=3e2x+2;h(x)=5ex;i(x)=9−e1−2x,$f(x)=e^{-x}+1;g(x)=3e^{2x+2};h(x)=\frac{5}{e^x};i(x)=9-e^{1-2x},$

j(x)=x2ex;k(x)=(3x+1)⋅e2x;l(x)=xex$j(x)=x^2{e}^x;k(x)=(3x+1)\cdot e^{2x};l(x)=\frac{x}{e^x}$

Lösung:

f′(x)=−e−x$f^{\prime }(x)=-e^{-x}$

g′(x)=3⋅2⋅e2x+2=6e2x+2$g^{\prime }(x)=3\cdot 2\cdot e^{2x+2}=6e^{2x+2}$

h(x)=5⋅e−x⇒h′(x)=5⋅(−1)⋅e−x=−5e−x$h(x)=5\cdot e^{-x}\Rightarrow h^{\prime }(x)=5\cdot (-1)\cdot e^{-x}=-5e^{-x}$

i′(x)=−1⋅(−2)⋅e1−2x=2e(1−2x)$i^{\prime }(x)=-1\cdot (-2)\cdot e^{1-2x}=2e^{(1-2x)}$

j,k$j,k$ und l$l$ werden zusätzlich mit der Produktregel gelöst:

j′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x)$j^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=x{e}^x(2+x)$

k′(x)=3e2x+(3x+1)⋅2⋅e2x=e2x(3+(3x+1)⋅2)=e2x(5+6x)$k^{\prime }(x)=3e^{2x}+(3x+1)\cdot 2\cdot e^{2x}=e^{2x}(3+(3x+1)\cdot 2)=e^{2x}(5+6x)$

l(x)=xe−x⇒l′(x)=e−x+x⋅(−1)⋅e−x=e−x(1−x)$l(x)=x{e}^{-x}\Rightarrow l^{\prime }(x)=e^{-x}+x\cdot (-1)\cdot e^{-x}=e^{-x}(1-x)$