E Funktion ableiten – online lernen

Ableitung der e-Funktion

Beispiele

Unter Berücksichtigung von f(x)=ex⇒f′(x)=ex und der Kettenregel können wir auch die allgemeine Exponentialfunktion

f(x)=a⋅ek(x−c)+d;a,k,c,d∈R

ableiten. Es gilt:

f′(x)=a⋅k⋅ek(x−c);f″(x)=a⋅k2⋅ek(x−c)

Beispielaufgabe:

Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=e−x+1;g(x)=3e2x+2;h(x)=5ex;i(x)=9−e1−2x,

j(x)=x2ex;k(x)=(3x+1)⋅e2x;l(x)=xex

Lösung:

f′(x)=−e−x

g′(x)=3⋅2⋅e2x+2=6e2x+2

h(x)=5⋅e−x⇒h′(x)=5⋅(−1)⋅e−x=−5e−x

i′(x)=−1⋅(−2)⋅e1−2x=2e(1−2x)

j,k und l werden zusätzlich mit der Produktregel gelöst:

j′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x)

k′(x)=3e2x+(3x+1)⋅2⋅e2x=e2x(3+(3x+1)⋅2)=e2x(5+6x)

l(x)=xe−x⇒l′(x)=e−x+x⋅(−1)⋅e−x=e−x(1−x)