Logarithmusfunktion – online lernen

Funktionsuntersuchung ln(x)

Beispielaufgabe:

Untersuche die Funktionf(x)=15⋅ln(3−x)$f(x)=\frac{1}{5}\cdot ln(3-x)$ auf Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und Globalverhalten. Zeige, dass f monoton fallend und rechtsgekrümmt ist. Fertige eine Skizze an.

Der natürliche Logarithmus

Die Funktion f(x)=ln(x)=loge(x)$f(x)=\ln (x)={\log }_e(x)$, mit der Eulerschen Zahl e≈2,71828$e\approx 2,71828$, heißt Logarithmus Naturalis oder einfach natürlicher Logarithmus. Der natürliche Logarithmus wächst langsamer als jedes Polynom q(x)$q(x)$!

D.h. für x→∞:ln(x)q(x)→0$x\to \mathrm{\infty }:\frac{\ln (x)}{q(x)}\to 0$ und q(x)ln(x)→∞$\frac{q(x)}{\ln (x)}\to \mathrm{\infty }$.

Skizze:

Ableitung der

ln$$\ln$$

-Funktion mit Beispielen

Die Ableitung von f(x)=ln(x)$f(x)=\ln (x)$ ist f′(x)=1x$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$.

Unter Berücksichtigung der Ableitungsregeln kann man auch eine allgemeine Logarithmusfunktion

f′(x)=a⋅ln(b(x−c))+d;a,b,c,d∈R$f^{\prime }(x)=a\cdot \ln \left(b\left(x-c\right)\right)+d;a,b,c,d\in \mathbb{R}$

ableiten. Es gilt:

Beispielaufgabe:

Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=2ln(2x);g(x)=ln(1−x)+1;h(x)=ln(5x)5;i(x)=x⋅ln(x);$f(x)=2\ln (2x);g(x)=\ln (1-x)+1;h(x)=\frac{\ln (5x)}{5};i(x)=x\cdot \ln (x);$

j(x)=ln(ax);k(x)=sin(x)⋅ln(x);l(x)=x⋅(ln(x)−1)$j(x)=\ln (ax);k(x)=\sin (x)\cdot \ln (x);l(x)=x\cdot (\ln (x)-1)$

Lösung:

f′(x)=2⋅12x⋅2=2x$f^{\prime }(x)=2\cdot \frac{1}{2x}\cdot 2=\frac{2}{x}$

g′(x)=11−x⋅(−1)=−11−x=1x−1$g^{\prime }(x)=\frac{1}{1-x}\cdot (-1)=\frac{-1}{1-x}=\frac{1}{x-1}$

h′(x)=15⋅15x⋅5=15x$h^{\prime }(x)=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5x}\cdot 5=\frac{1}{5x}$

i′(x)=ln(x)+x⋅1x=ln(x)+1$i^{\prime }(x)=\ln (x)+x\cdot \frac{1}{x}=\ln (x)+1$ (Produktregel)

j′(x)=1ax⋅a=1x$j^{\prime }(x)=\frac{1}{ax}\cdot a=\frac{1}{x}$

k′(x)=cos(x)⋅ln(x)+sin(x)⋅1x$k^{\prime }(x)=\cos (x)\cdot \ln (x)+\sin (x)\cdot \frac{1}{x}$ (Produktregel)

l′(x)=ln(x)−1+x⋅1x=ln(x)−1+1=ln(x)$l^{\prime }(x)=\ln (x)-1+x\cdot \frac{1}{x}=\ln (x)-1+1=\ln (x)$ (Produktregel)

Aus l(x)$l(x)$ erkennt man, wie eine Stammfunktion von ln(x)$\ln (x)$ aussehen muss. Es gilt:

f(x)=ln(x)⇒F(x)=x(ln(x)−1)=x⋅ln(x)−x$f(x)=\ln (x)\Rightarrow F(x)=x(\ln (x)-1)=x\cdot \ln (x)-x$

Variation von ln(x)$\ln (x)$

Die Graphen folgender ln$\ln$-Funktionen sollte man auswendig kennen:

Die rot markierten Funktionen ln(−x)$\ln (-x)$ (links) und −ln(−x)$-\ln (-x)$ (rechts) erhält man jeweils durch Spiegelung der Ausgangsfunktion ln(x)$\ln (x)$ bzw. −ln(x)$-\ln (x)$ an der y$y$-Achse. −ln(x)$-\ln (x)$ erhält man davor durch Spiegelung von ln(x)$\ln (x)$ an der x$x$-Achse.

Die allgemeine Darstellung enthält mehrere Konstanten, die Streckungen oder Verschiebungen bewirken:

a$a$: Streckung in y$y$-Richtung
1b$\frac{1}{b}$: Streckung in x$x$-Richtung
c$c$: Verschiebung in x$x$-Richtung
d$d$: Verschiebung in y$y$-Richtung

Die Funktion ist dann auf dem Intervall definiert, auf dem b(x−c)>0$b(x-c)>0$ gilt.

Beispielaufgabe:

Skizziere die Graphen von g(x)=ln(2x)+1$g(x)=\ln (2x)+1$ und h(x)=−12ln(1−x)$h(x)=-\frac{1}{2}\ln (1-x)$
und beschreibe, wie sie aus dem Graphen von f(x)=ln(x)$f(x)=\ln (x)$ hervorgehen.

Lösung:

Zu g$g$: Schreibe um zu g(x)=ln(2(x−0))+1$g(x)=\ln (2(x-0))+1$
f$f$ wurde mit Faktor 2$2$ in x$x$-Richtung gestreckt und um 1$1$ Einheit nach oben verschoben.

Zu h$h$: Schreibe um zu h(x)=−12ln(−1(x−1))$h(x)=-\frac{1}{2}\ln (-1(x-1))$
f$f$ wurde an der x$x$- und y$y$-Achse gespiegelt, in y$y$-Richtung mit Faktor 12$\frac{1}{2}$ gestaucht und um 1$1$ Einheit nach rechts verschoben.

Damit erhält man folgende Schaubilder:

Ableitung der ln-Funktion

Um die Ableitung von g(x)=ln(x)$g(x)=\ln (x)$ zu bestimmen, brauchen wir als Hilfsmittel den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion. Für eine Umkehrfunktion g$g$ einer differenzierbaren Funktion f$f$ und falls f′(g(y))≠0$f^{\prime }(g(y))\ne 0$ ist, gilt:

g′(y)=1f′(g(y))$g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(g(y))}$

Die natürliche Logarithmusfunktion g(x)=ln(x)$g(x)=\ln (x)$ hat die Umkehrfunktion f(x)=ex$f(x)=e^x$.
Aus obiger Formel folgt dann:

g′(x)=1f′(ln(x))=1eln(x)=1x$g^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(\ln (x))}=\frac{1}{e^{\ln (x)}}=\frac{1}{x}$

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus g(x)=ln(x)$g(x)=\ln (x)$ ist damit g′(x)=1x$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$.