Logarithmusfunktion – online lernen

Funktionsuntersuchung ln(x)

Beispielaufgabe:

Untersuche die Funktionf(x)=15⋅ln(3−x) auf Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und Globalverhalten. Zeige, dass f monoton fallend und rechtsgekrümmt ist. Fertige eine Skizze an.

Der natürliche Logarithmus

Die Funktion f(x)=ln(x)=loge(x), mit der Eulerschen Zahl e≈2,71828, heißt Logarithmus Naturalis oder einfach natürlicher Logarithmus. Der natürliche Logarithmus wächst langsamer als jedes Polynom q(x)!

D.h. für x→∞:ln(x)q(x)→0 und q(x)ln(x)→∞.

Skizze:

Ableitung der ln

-Funktion mit Beispielen

Die Ableitung von f(x)=ln(x) ist f′(x)=1x.

Unter Berücksichtigung der Ableitungsregeln kann man auch eine allgemeine Logarithmusfunktion

f′(x)=a⋅ln(b(x−c))+d;a,b,c,d∈R

ableiten. Es gilt:

f′(x)=a⋅1b(x−c)⋅b=ax−c

Beispielaufgabe:

Bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

f(x)=2ln(2x);g(x)=ln(1−x)+1;h(x)=ln(5x)5;i(x)=x⋅ln(x);

j(x)=ln(ax);k(x)=sin(x)⋅ln(x);l(x)=x⋅(ln(x)−1)

Lösung:

f′(x)=2⋅12x⋅2=2x

g′(x)=11−x⋅(−1)=−11−x=1x−1

h′(x)=15⋅15x⋅5=15x

i′(x)=ln(x)+x⋅1x=ln(x)+1 (Produktregel)

j′(x)=1ax⋅a=1x

k′(x)=cos(x)⋅ln(x)+sin(x)⋅1x (Produktregel)

l′(x)=ln(x)−1+x⋅1x=ln(x)−1+1=ln(x) (Produktregel)

Aus l(x) erkennt man, wie eine Stammfunktion von ln(x) aussehen muss. Es gilt:

f(x)=ln(x)⇒F(x)=x(ln(x)−1)=x⋅ln(x)−x

Variation von ln(x)

Die Graphen folgender ln-Funktionen sollte man auswendig kennen:

Die rot markierten Funktionen ln(−x) (links) und −ln(−x) (rechts) erhält man jeweils durch Spiegelung der Ausgangsfunktion ln(x) bzw. −ln(x) an der y-Achse. −ln(x) erhält man davor durch Spiegelung von ln(x) an der x-Achse.

Die allgemeine Darstellung enthält mehrere Konstanten, die Streckungen oder Verschiebungen bewirken:

f(x)=a⋅ln(b(x−c))+d

a: Streckung in y-Richtung
1b: Streckung in x-Richtung
c: Verschiebung in x-Richtung
d: Verschiebung in y-Richtung

Die Funktion ist dann auf dem Intervall definiert, auf dem b(x−c)>0 gilt.

Beispielaufgabe:

Skizziere die Graphen von g(x)=ln(2x)+1 und h(x)=−12ln(1−x)
und beschreibe, wie sie aus dem Graphen von f(x)=ln(x) hervorgehen.

Lösung:

Zu g: Schreibe um zu g(x)=ln(2(x−0))+1
f wurde mit Faktor 2 in x-Richtung gestreckt und um 1 Einheit nach oben verschoben.

Zu h: Schreibe um zu h(x)=−12ln(−1(x−1))
f wurde an der x- und y-Achse gespiegelt, in y-Richtung mit Faktor 12 gestaucht und um 1 Einheit nach rechts verschoben.

Damit erhält man folgende Schaubilder:

Ableitung der ln-Funktion

Um die Ableitung von g(x)=ln(x) zu bestimmen, brauchen wir als Hilfsmittel den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion. Für eine Umkehrfunktion g einer differenzierbaren Funktion f und falls f′(g(y))≠0 ist, gilt:

g′(y)=1f′(g(y))

Die natürliche Logarithmusfunktion g(x)=ln(x) hat die Umkehrfunktion f(x)=ex.
Aus obiger Formel folgt dann:

g′(x)=1f′(ln(x))=1eln(x)=1x

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus g(x)=ln(x) ist damit g′(x)=1x.