Kurvendiskussion e-Funktion

Hast du dich schon ausführlich mit der Kurvendiskussion beschäftigt? Dann kennst du bereits alle notwendigen Schritte. Die Kurvendiskussion der e-Funktion bringt noch mal ein paar Besonderheiten mit sich, die wir dir hier vorstellen. Wir empfehlen dir, dir außerdem unsere Materialien zur e-Funktion anzuschauen, die dir sicherlich beim Verständnis helfen. 

Diese 12 Schritte brauchst du für eine Kurvendiskussion der e-Funktion:

1. Die ersten drei Ableitungen bilden
2. Definitionsbereich bestimmen
3. y-Achsenabschnitt berechnen
4. Nullstellen berechnen
5. Grenzwert bestimmen
6. Extrempunkte berechnen
7. Monotonieverhalten bestimmen
8. Wendepunkt und Wendetangente berechnen
9. Krümmungsverhalten bestimmen
10. Symmetrie bestimmen
11. Wertebereich bestimmen
12. Funktionsgraphen zeichnen

Um die e-Funktion abzuleiten, benötigst du verschiedene Ableitungsregeln. Besonders häufig brauchst du die Kettenregel. In unserem Fall genügt allerdings diesmal die Produktregel. Da die Ableitung der e-Funktion selbst f(x)=ex⟹f′(x)=ex$f(x)=e^x⟹f^{\prime }(x)=e^x$ lautet, ergeben sich folgende drei Ableitungen für unsere Funktion:

f(x)=(x−2)⋅ex$f(x)=(x-2)\cdot e^x$

f′(x)=(x−1)⋅ex$f^{\prime }(x)=(x-1)\cdot e^x$

f′′(x)=x⋅ex$f^{″}(x)=x\cdot e^x$

f′′′(x)=(x+1)⋅ex$f^{‴}(x)=(x+1)\cdot e^x$

Den Definitionsbereich zu bestimmen, heißt zu beschreiben, welche Zahlen du für x$x$ in deine Funktion einsetzen darfst. Für die e-Funktion sind das grundsätzlich alle reellen Zahlen, es sei denn, es handelt sich um eine gebrochenrationale Funktion. Da das hier nicht der Fall ist, gilt für unsere Funktion: 

D=R$D=\mathbb{R}$

Um den y-Achsenabschnitt (auch Ordinatenabschnitt genannt) zu berechnen, setzt du für das x$x$ in deiner Funktion einfach 0$0$ ein und ermittelst so den y-Wert, in dem deine Funktion die y-Achse schneidet.
Diese Rechnung ist meist recht einfach, so auch in diesem Fall: 

f(x)=(x−2)⋅ex$f(x)=(x-2)\cdot e^x$

f(0)=(0−2)⋅e0$f(0)=(0-2)\cdot e^0$

f(0)=−2⋅1$f(0)=-2\cdot 1$

f(0)=−2$f(0)=-2$

Deine Funktion schneidet die y-Achse also im Punkt y=−2$y=-2$. Das ist unser y-Achsenabschnitt.

Auch die Nullstellen der e-Funktion sind nicht schwer zu berechnen. Dazu musst du nur deine Funktion gleich Null setzen und nach x$x$ auflösen. 

f(x)=(x−2)⋅ex$f(x)=(x-2)\cdot e^x$

(x−2)⋅ex=0$(x-2)\cdot e^x=0$

In unserem Fall können wir es uns sogar noch leichter machen, da ein Produkt aus zwei Teilfunktionen vorliegt. Das bedeutet: Wenn entweder (x−2)$(x-2)$ oder ex$e^x$ gleich Null ist (oder auch beide), dann hast du Nullstellen gefunden. 

Für ex$e^x$ wissen wir bereits: Hier gibt es keine Lösung, denn Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen. 

Für x−2=0$x-2=0$ ist die Lösung ebenfalls schnell gefunden. Du kannst direkt ablesen, dass es bei x=2$x=2$ eine Nullstelle gibt.

Deine Lösung lautet also: Die einzige Nullstelle der Funktion liegt bei (2|0)$(2|0)$. Das ist der Achsenschnittpunkt für die x-Achse. 

Den Grenzwert einer Funktion können wir mithilfe einer Wertetabelle ermitteln. Das kannst du auch für die e-Funktion tun, jedoch kannst du dir hier viel Arbeit ersparen, denn: Wenn du eine ganzrationale Funktion (in unserem Fall x−2$x-2$) in Verbindung mit der e-Funktion hast, dann dominiert in Bezug auf den Grenzwert immer das Verhalten der e-Funktion. Das bedeutet, dass du nur das Grenzverhalten der e-Funktion ex$e^x$ ermitteln musst. Das tun wir hier:

Hier kannst du erkennen, dass die e-Funktion für größer werdende x-Werte sehr schnell gegen plus unendlich strebt – für kleiner werdende x-Werte hingegen gegen Null.
In der Limesschreibweise sieht der Grenzwert dann so aus:

limx→+∞(x−2)⋅ex=+∞$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x-2)\cdot e^x=+\mathrm{\infty }$

limx→−∞(x−2)⋅ex=0$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(x-2)\cdot e^x=0$

Um die Extrempunkte, also Hochpunkte und Tiefpunkte, deiner Funktion zu berechnen, musst du herausfinden, an welchen Stellen die Steigung gleich Null ist. Dazu brauchen wir jetzt die erste Ableitung und setzen diese gleich Null:

f′(x)=(x−1)⋅ex$f^{\prime }(x)=(x-1)\cdot e^x$

Wir wissen bereits, dass unsere Exponentialfunktion keine Nullstellen hat. Der andere Teil des Produkts, (x−1)$(x-1)$, würde uns jedoch ebenfalls eine Nullstelle liefern, da somit die gesamte Gleichung gleich Null ergibt. Für x−1$x-1$ finden wir ganz leicht die Nullstelle x=1$x=1$. Hier befindet sich also eine mögliche Extremstelle. 

Um zu überprüfen, ob es sich dabei wirklich um einen Extrempunkt handelt, setzen wir x=1$x=1$ in die zweite Ableitung der Funktion ein:

f′′(x)=x⋅ex$f^{″}(x)=x\cdot e^x$

f′′(1)=(1)⋅e1$f^{″}(1)=(1)\cdot e^1$

f′′(1)=e≈2,7$f^{″}(1)=e\approx 2,7$

Ist f′′(x)>0$f^{″}(x)>0$, dann befindet sich dort ein Tiefpunkt – das kannst du in unseren Erklärungen zu Hochpunkt und Tiefpunkt nachlesen. Nun setzen wir unseren x-Wert noch in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinate für den Extrempunkt zu ermitteln:

f(x)=(x−2)⋅ex$f(x)=(x-2)\cdot e^x$

f(1)=(1−2)⋅ex$f(1)=(1-2)\cdot e^x$

f(1)=−e$f(1)=-e$

Wir haben also hier einen Tiefpunkt bei T(1|−e)$T(1|-e)$ gefunden.

Wir wissen nun schon einiges über unsere Funktion und können daher auch schon Aussagen über das Monotonieverhalten treffen. Da wir bereits den Grenzwert bestimmt haben, wissen wir, dass für sehr kleine x-Werte unser Graph etwa bei Null liegt. Von dort kommend muss er zu unserem Tiefpunkt bei x=1$x=1$ abfallen. Danach – wie immer nach einem Tiefpunkt – muss die Funktion steigen. Aus der Betrachtung des Grenzwertes wissen wir also, dass die Funktion gegen plus unendlich geht.

Wir schreiben also:

]−∞,1]$]-\mathrm{\infty },1]$ streng monoton fallend

[1,∞[$[1,\mathrm{\infty }[$ streng monoton steigend

Erinnere dich: In Wendepunkten ändert die Kurve der Funktion ihr Krümmungsverhalten. Mögliche Wendepunkte findest du mithilfe der zweiten Ableitung heraus – diese muss nämlich gleich Null sein.
Wir berechnen also:

f′′(x)=x⋅ex$f^{″}(x)=x\cdot e^x$

f′′(0)=0⋅e0$f^{″}(0)=0\cdot e^0$

f′′(0)=0$f^{″}(0)=0$

Ein Wendepunkt könnte sich also bei x=0$x=0$ befinden. Wir überprüfen das Krümmungsverhalten der Kurve mithilfe der dritten Ableitung:

f′′′(x)=ex⋅(x+1)$f^{‴}(x)=e^x\cdot (x+1)$

f′′′(0)=e0⋅(0+1)$f^{‴}(0)=e^0\cdot (0+1)$

f′′′(0)=1$f^{‴}(0)=1$

Da die dritte Ableitung in unserem Punkt größer als Null ist, wissen wir: Es handelt sich hier um einen Wendepunkt. Wir berechnen dazu noch die y-Koordinate, indem wir x=1$x=1$ in unsere ursprüngliche Funktion einsetzen:

f(x)=(x−2)⋅ex$f(x)=(x-2)\cdot e^x$

f(0)=(0−2)⋅e0$f(0)=(0-2)\cdot e^0$

f(0)=−2$f(0)=-2$

Lösung: Es befindet sich ein Wendepunkt bei W(0|−2)$W(0|-2)$

Nun wollen wir noch die Tangente dieses Wendepunkts berechnen. Dazu brauchen wir zunächst noch die Steigung in unserem Wendepunkt. Um diese herauszufinden, setzen wir unseren x-Wert für die Wendestelle in die erste Ableitung der Funktion ein:

f′(x)=(x−1)⋅ex$f^{\prime }(x)=(x-1)\cdot e^x$

f′(0)=(0−1)⋅e0$f^{\prime }(0)=(0-1)\cdot e^0$

f′(0)=−1$f^{\prime }(0)=-1$

Die Steigung f′(xW)$f^{\prime }(x_{\text{W}})$ setzen wir jetzt zusammen mit den Koordinaten unseres Wendepunkts in die Punktsteigungsform ein:

yW(x)=f′(xW)⋅(x−xW)+yW$y_{\text{W}}(x)=f^{\prime }(x_{\text{W}})\cdot (x-x_{\text{W}})+y_{\text{W}}$

yW(x)=(−1)⋅(x−0)+(−2)$y_{\text{W}}(x)=(-1)\cdot (x-0)+(-2)$

Wir vereinfachen:

yW(x)=−x−2$y_{\text{W}}(x)=-x-2$

Das ist die Gleichung für unsere Wendetangente.

Das Krümmungsverhalten ist für unsere e-Funktion sehr leicht zu bestimmen. Wir wissen ja bereits, dass es nur einen einzigen Wendepunkt gibt, in dem das Krümmungsverhalten sich verändern kann. Auch die dritte Ableitung an dieser Wendestelle haben wir bereits berechnet:

f′′′(0)=1$f^{‴}(0)=1$

Da die dritte Ableitung größer als Null ist, wissen wir aufgrund der Regeln für das Krümmungsverhalten einer Funktion, dass es sich hier um einen Rechts-links-Wendepunkt handelt. Der Graph der Funktion ist also zunächst rechtsgekrümmt und geht dann im Wendepunkt in eine Linkskrümmung über. Das ist schon alles!

Wenn du dich mit der e-Funktion beschäftigt hast, kannst du möglicherweise schon erahnen, wie das Symmetrieverhalten der Funktion aussieht. Wir prüfen sie dennoch der Vollständigkeit halber auf die zwei häufigsten Vorkommen von Symmetrie. Dafür gelten folgende Bedingungen:

• Achsensymmetrie zur y-Achse: f(−x)=f(x)$f(-x)=f(x)$
• Punktsymmetrie zum Ursprung: f(−x)=−f(x)$f(-x)=-f(x)$

Wir beginnen mit der Achsensymmetrie und ermitteln f(−x)$f(-x)$:

f(x)=(x−2)⋅ex$f(x)=(x-2)\cdot e^x$

f(−x)=(−x−2)⋅e−x$f(-x)=(-x-2)\cdot e^{-x}$

Den Term e−x$e^{-x}$ kannst du auch so schreiben: 1ex$\frac{1}{e^x}$. Dann kannst du noch die Klammer mit dem Minus multiplizieren und erhältst folgendes Ergebnis:

f(−x)=(−x−2)ex$f(-x)=\frac{(-x-2)}{e^x}$

Wir vergleichen die ursprüngliche Funktion mit unserem Ergebnis:

f(x)=(x−2)⋅ex$f(x)=(x-2)\cdot e^x$

f(−x)=(−x−2)ex$f(-x)=\frac{(-x-2)}{e^x}$

Hier lässt sich keine Übereinstimmung finden. Wir wissen also zur Symmetrie bereits, dass keine Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegt.

Prüfen wir noch die Punktsymmetrie. Dafür müssen wir noch −f(x)$-f(x)$ berechnen:

f(x)=(x−2)⋅ex$f(x)=(x-2)\cdot e^x$

−f(x)=−[(x−2)⋅ex]$-f(x)=-\left[(x-2)\cdot e^x\right]$

−f(x)=−x+2⋅(−ex)$-f(x)=-x+2\cdot (-e^x)$

Wir vergleichen nun f(−x)$f(-x)$ und −f(x)$-f(x)$, um eine eventuelle Punktsymmetrie zum Ursprung festzustellen:

f(−x)=(−x−2)ex$f(-x)=\frac{(-x-2)}{e^x}$

−f(x)=−x+2⋅(−ex)$-f(x)=-x+2\cdot (-e^x)$

Auch hier finden wir keine Übereinstimmung und somit keine Punktsymmetrie zum Ursprung. Anhand des Graphen der e-Funktion, den du im letzten Schritt zeichnen wirst, kannst du auch sehr leicht sehen, dass es hier keine Symmetrie geben kann. 

Da du bereits als Teil der Kurvendiskussion die Grenzwerte deiner e-Funktion bestimmt hast, weißt du, dass deine Funktion insgesamt für kleiner werdende x-Werte gegen Null und für größer werdende x-Werte gegen plus unendlich strebt. Deine y-Werte bewegen sich also in diesem Bereich. Allerdings weißt du auch, dass deine Funktion einen Tiefpunkt bei T(1|−e)$T(1|-e)$ hat. Auch diesen musst du berücksichtigen. Kleiner werden deine y-Werte nicht.

Dein Wertebereich für die Funktion lautet also:

W=[−e|+∞[$W=[-e|+\mathrm{\infty }[$

Das sind deine möglichen y-Werte.

Fast fertig! Nun zeichnest du zum Abschluss der Kurvendiskussion noch den Funktionsgraphen deiner e-Funktion. Dafür nutzt du die Schnittpunkte mit der x- und y-Achse, den gefundenen Tiefpunkt sowie den Wendepunkt.

Damit ist deine Kurvendiskussion der e-Funktion fertig!

Übrigens: Alle Schritte der Kurvendiskussion für andere Arten von Funktionen kannst du hier noch einmal ganz genau nachlesen:

• Kurvendiskussion
• Ableitung
• Ableitungsregeln
• Extremstellen berechnen
• Hoch- und Tiefpunkte
• Monotonie
• Wendepunkt berechnen
• Wendetangente berechnen
• Sattelpunkt berechnen 
• y-Achsenabschnitt berechnen