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Gerade ~ Gerade zueinander – online lernen

Geraden können im dreidimensionalen Raum unterschiedlich zueinander stehen. Wie du das rechnerisch herausfindest, das lernst du hier.

Wiki zum Thema: Gerade ~ Gerade

Lagebeziehung Gerade – Gerade

Zwei Geraden können auf vier verschiedene Arten zueinander liegen:

  • g und h sind parallel, g||h
  • g und h sind identisch, g=h
  • g und h schneiden sich
  • g und h sind windschief

Vorgehensweise beim Untersuchen der gegenseitigen Lage der Geraden:

Beispielaufgabe:

Untersuche die gegenseitige Lage von g und h, sowie g und k:

g:x=(245)+s(121),h:x=(111)+r(242),k:x=(164)+t(202)

Lösung:g und h:

Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, also linear abhängig.

(245)=(111)+r(242)1=2rr=123=4rr=344=2rr=2g||h

g und k:

Die Richtungsvektoren sind keine Vielfache, also linear unabhängig.

(245)+s(121)=(164)+t(202)...(10|001|1000)t=0,s=1

g und k schneiden sich im Punkt S(1,6,4) (t in k oder s in g einsetzen).


Arbeitsblätter
Lagebeziehungen im ℝ3
Gerade ~ Gerade
Schwierigkeitsgrad 1
Serie 1


Aufgabe 1

Welche Aussagen sind wahr? Korrigiere die falschen Aussagen.


Aussagewahrfalsch
a)Eine Gerade kann allgemein parallel oder nichtparallel zu einer zweiten Gerade sein.

b)Ist eine Gerade zu einer zweiten parallel, dann haben diese keine gemeinsamen Punkte.

c)Sind zwei Geraden nichtparallel zueinander, dann haben sie einen Schnittpunkt.

d)Zwei windschiefe Geraden können auch parallel sein.

e)Zwei windschiefe Geraden können auch senkrecht zueinander stehen.

f)Die Richtungsvektoren zweier Geraden müssen identisch sein, damit die Geraden parallel zueinander stehen.

g)Zwei Geraden, welche identisch sind, können unterschiedliche Aufpunkte besitzen.

h)Zwei Geraden, die sich schneiden, müssen als Aufpunkt den Schnittpunkt besitzen.

i)Damit zwei Geraden windschief stehen, muss nur bewiesen werden, dass die beiden Geraden keinen einzigen Schnittpunkt besitzen.


Aufgabe 2

Gegeben sind die Geraden
f:x=(212)+λ(121)

, g:x=(330)+μ(1,531,5)
und h:x=(106)+σ(112)
.


Beantworte Schritt für Schritt die folgenden Fragen für die Lage der Geraden f

und g
, f
und h
sowie g
und h
:



f und g
f und h
g und h
a)Sind die Richtungsvektoren ein Vielfaches voneinander?O jaO neinO jaO neinO jaO nein
b)Wenn a) ja:
Besitzen die beiden Geraden gemeinsame Punkte? Was folgt hieraus?
O jaO neinO jaO neinO jaO nein
c)Wenn a) nein:
Besitzen die beiden Geraden einen Schnittpunkt?
O jaO neinO jaO neinO jaO nein
d)Wenn c) nein:
Was folgt für die beiden Geraden in diesem Fall?
O jaO neinO jaO neinO jaO nein
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