Logistisches Wachstum – online lernen
Außer dem linearen und dem exponentiellen Wachstum gibt es noch zwei weitere Wachstumsarten. Diese sind besonders geeignet, um biologische Gegebenheiten darzustellen. Hier lernst du sie kennen: das beschränkte und das logistische Wachstum.
Das beschränkte Wachstum
Das beschränkte Wachstum ist eine Form des Wachstums, das z.B. biologische Wachstumsprozesse beschreibt.
Man geht z.B. davon aus, dass sich eine Bakterienkultur in einem Glas befindet. Diese wird exponentiell wachsen, aber irgendwann ist kein Platz mehr zur Ausbreitung im Glas vorhanden. Daher ist das Wachstum beschränkt.
Die allgemeine (rekursive) Formel für das beschränkte Wachstum lautet:
B(t+1)=B(t)+k·(S−B(t))
B(t): Der Bestand zum Zeitpunkt der Messung
B(t+1): Der Bestand nach einem Zeitschritt
k: Der Wachstumsfaktor
S: Die Schranke
Mit der Formel kann der Bestand zu einem gewissen Zeitpunkt nur dann berechnet werden, wenn man den Bestand zum vorigen Zeitpunkt schon kennt oder berechnet hat.
Beispiel: In einem Teich mit 30 m2 Fläche wachsen Seerosen. Am ersten Tag beträgt die Fläche, die die Seerosen bedecken 1m2, am zweiten Tag 2,5 m2. Bestimme k und den Flächeninhalt der bedeckten Fläche am dritten Tag.
Exponentielles Wachstum
Neben ein paar anderen Wachstumsformen ist das exponentielle Wachstum eine der wichtigen Wachstumsformen. Wie bei allen exponentiellen Zusammenhängen ist hier die Variable im Exponenten. Die allgemeine Gleichung lautet:
- B(t)=B(0)⋅at
- B(t)=B(0)⋅ekt
B(t) bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt t , B(0) ist der Anfangsbestand. a) ist der Wachstumsfaktor und muss für ein Wachstum größer als 1 sein. Häufig verwendet man statt at lieber ekt. e ist die eulersche Zahl e=2,718281828, es gilt k=ln(a). Bei einem Wachstum ist k>0.
Wird das Wachstum in Prozent mit dem Prozentsatz p angegeben, dann gilt:
- a=1+p100
Ein Beispiel für exponentielles Wachstum ist die Vermehrung von Bakterien, deren Anzahl sich (wenn es die äußeren Umstände erlauben) in regelmäßigen Abständen verdoppelt.
Beispiel: Bakterien bedecken in einer Petrischale zunächst 2 cm² . Die Fläche wächst täglich um 30 %. Wie lautet die Wachstumsfunktion?
Beschränktes und logistisches Wachstum
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 5640
Beschränktes und logistisches Wachstum
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 772
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 5641
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 773
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 5642
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 774
| Exponentialfunktionen Beschränktes und logistisches Wachstum | Schwierigkeitsgrad 1 Serie 2 |
Aufgabe 1
In einem See nimmt die Helligkeit pro Meter Wassertiefe um 5%
- Stelle eine Funktion auf, durch die sich die Helligkeit in Abhängigkeit der Wassertiefe berechnen lässt.
- Welche Helligkeit herrscht in 1m, 5mund 10mWassertiefe?
- In welcher Tiefe beträgt die Helligkeit noch 10%des ursprünglichen Wertes?
- Wenn nur noch 0,005%des ursprünglichen Lichts vorhanden ist, spricht man von absoluter Dunkelheit. Wie tief muss der See mindestens sein, damit dieser Fall eintreten kann?
Aufgabe 2
Zur Markteinführung eines neuen Smartphones wurden 100.000 Stück verkauft. Die Verkaufszahlen nach t
f(t)=4350−4250⋅0,988t
- Was ist die maximale Anzahl an Smartphones, die nach dieser Rechnung verkauft werden kann?
- Wie viele Smartphones sind nach einer, nach zwei und nach fünf Wochen verkauft worden?
- Wie lange dauert es, bis mehr als die Hälfte der zu erwartenden Menge verkauft ist?
- Wenn 80%der zu erwartenden Menge verkauft ist, nimmt der Hersteller das Smartphone vom Markt, um das Nachfolgemodell einzuführen. Nach wie vielen Wochen muss er dies tun?
Aufgabe 3
Herr Müller erwartet zum Abendessen Gäste und holt dafür zwei Flaschen Wein aus dem 8∘C
- Stelle mit der Formel f(t)=S−c⋅ateine Funktion auf, mit der man die Temperatur des Weines zum Zeitpunkt t(tin Stunden) berechnen kann.
- Hat Herr Müller die Flaschen rechtzeitig aus dem Keller geholt, wenn die Gäste in einer Stunde eintreffen und der Wein eine Trinktemperatur von mindestens 14∘Chaben soll?
- Welche Temperatur hätte der Wein gehabt, wenn er ihn nur 40 Minuten vor dem Eintreffen der Gäste aus dem Keller geholt hätte?
- Ab einer Temperatur von 18∘Cmuss der Wein wieder gekühlt werden, damit er nicht zu warm wird. Nach welcher Zeit ist dies der Fall?
