Funktionen

Eine Funktion besteht immer aus drei Komponenten:

• der Funktionsgleichung,
• dem Definitionsbereich und
• dem Wertebereich.

Eine Funktion hat die Aufgabe, die Abbildung zwischen zwei Mengen darzustellen. Man nennt sie deshalb auch „Abbildungsvorschrift“. Diese beiden Mengen sind der Definitionsbereich und der Wertebereich. Dabei ist es wichtig, dass jedem Element aus der Definitionsmenge nur ein Element aus der Wertemenge zugeordnet wird. Anders ausgedrückt: Zu einem x-Wert darf es immer nur einen y-Wert geben, nicht etwa zwei oder mehr. Man sagt auch: Das Ergebnis der Funktionsgleichung muss eindeutig sein.

Eine Funktion bezeichnen wir mit f(x)$f(x)$. Darauf folgt die Funktionsgleichung, die genau beschreibt, welche Werte einander zugeordnet werden.
Es gibt viele verschiedene Funktionstypen, die wir dir gleich alle mit Beispielen vorstellen. Vorher wollen wir aber noch ein paar Grundlagen betrachten, die du kennen solltest.

Um darzustellen, welche Elemente aus dem Wertebereich eine Funktion den Elementen aus dem Definitionsbereich zuordnet, hast du verschiedene Möglichkeiten. Du kannst zum Beispiel eine Wertetabelle anlegen.

Beispiel:

f(x)=3x$f(x)=3x$

Du kannst die Funktion aber auch bildlich darstellen, und zwar als Funktionsgraph im Koordinatensystem.

Vielleicht hast du schon bemerkt, dass wir hier zwischen Funktion, Funktionsgleichung und Funktionsgraph unterscheiden. Eine Funktion besteht, wie oben erklärt, aus der Funktionsgleichung, der Definitionsmenge und der Wertemenge. Grafisch darstellen lässt sie sich mit dem Graphen der Funktion.

Klar so weit? Dann schauen wir uns jetzt verschiedene Funktionstypen an.

Lineare Funktionen haben die allgemeine Form f(x)=mx+t$f(x)=mx+t$.

Dabei gilt:

• m$m$ gibt die Steigung an.
• t$t$ gibt den y-Achsenabschnitt (den Schnittpunkt mit der y-Achse) an.

Die Darstellung einer linearen Funktion im Koordinatensystem ist immer eine Gerade. Wenn du die Funktionsgleichung einer linearen Funktion berechnen sollst, musst du häufig die Steigung dieser Geraden berechnen. Das kannst du mithilfe des Steigungsdreiecks tun. Mehr darüber erfährst du auf unsere Seite zum Berechnen von Funktionsgleichungen.

Quadratische Funktionen haben die allgemeine Form f(x)=ax2+bx+c$f(x)=a{x}^2+bx+c$.

Dabei sind a$a$, b$b$ und c$c$ reelle Zahlen. Im Koordinatensystem wird eine quadratische Funktion als Parabel dargestellt. Besonders erwähnenswert ist dabei die sogenannte Normalparabel: Sie ist die Darstellung der reinquadratischen Funktion f(x)=x2$f(x)=x^2$.

Es gibt noch weitere Möglichkeiten, die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion aufzuschreiben:

• Scheitelpunktform: Die Scheitelpunktform kannst du nutzen, wenn dir der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion sowie ein weiterer Punkt bekannt sind. Sie lautet f(x)=a(x−xS2+xS$f(x)=a{(x-x_S}^2+x_S$, wobei xS$x_S$ und yS$y_S$ die Koordinaten des Scheitelpunkts sind.
• faktorisierte Form: Die faktorisierte Form der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion lautet a⋅(x–x1)⋅(x–x2)$a\cdot (x–x_1)\cdot (x–x_2)$. Der große Vorteil liegt hier darin, dass du sofort die Nullstellen der Funktion ablesen kannst: Du musst dazu deinen x-Wert so wählen, dass in einer Klammer das Ergebnis Null entsteht. Allerdings: Der Koeffizient a$a$ darf in dieser Form niemals Null werden!

Von quadratischen Gleichungen wirst du sehr häufig die Nullstellen berechnen müssen. Eine quadratische Gleichung kann eine, zwei oder auch gar keine Nullstellen haben. Herausfinden kannst du das mit der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel.

Potenzfunktionen haben die allgemeine Form f(x)=a⋅xn$f(x)=a\cdot x^n$.

Dabei ist a$a$ ein Vorfaktor der Zahlenmenge R$\mathbb{R}$. In der Schule wirst du es selten mit Exponenten zu tun haben, die höher als 3$3$ oder 4$4$ sind – theoretisch können sie jedoch unendlich groß werden. Je nachdem, ob der Exponent gerade, ungerade, positiv oder negativ ist, sieht die Potenzfunktion ganz anders aus.

Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an.

Die Wurzelfunktion hat die allgemeine Form f(x)=x−−√n$f(x)=\sqrt[n]{x}$.

Dabei nennt man n$n$ den Wurzelexponenten. Am häufigsten wirst du sicher der Quadratwurzelfunktion begegnen. Dabei ziehst du die zweite Wurzel. Diese Funktion kommt so häufig vor, dass du den Wurzelexponenten 2$2$ nicht einmal zu schreiben brauchst. Die Funktion heißt einfach nur f(x)=x−−√$f(x)=\sqrt{x}$.

Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion. Du kannst also jede Wurzelfunktion auch als Potenzfunktion schreiben, nämlich so:

x−−√n=x1n$\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$

Da die Wurzel- und die Potenzfunktion einander umkehren, sind ihre Graphen im Koordinatensystem Spiegelungen voneinander. Als Spiegelachse dient die Winkelhalbierende zwischen den beiden Funktionen. 

Ganzrationale Funktionen setzen sich aus mehreren Polynomen zusammen. Deswegen werden sie auch Polynomfunktionen genannt. Sie haben die allgemeine Form

f(x)=an⋅xn+an−1⋅xn−1+…+a2⋅x2+a1⋅x1+a0$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\dots +a_2\cdot x^2+a_1\cdot x^1+a_0$

In ganzrationalen Funktionen können also beliebig viele Funktionsterme mit beliebig hohen gleichen oder verschiedenen Exponenten auftauchen.

Beispiel: 

f(x)=3x5+2x4–x2+5x–8$f(x)=3x^5+2x^4–x^2+5x–8$

Im Matheunterricht wirst du aber vor allem kubischen Funktionen (mit dem höchsten Exponenten 3$3$) oder Funktionen 4. Grades (mit dem höchsten Exponenten 4$4$) begegnen.

Wenn eine Funktion aus einem Bruch besteht, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Polynom p(x)$p(x)$ bzw. q(x)$q(x)$ aufweist, dann nennt man diese eine gebrochenrationale Funktion.

Gebrochenrationale Funktionen weisen Definitionslücken auf: Da wir nicht durch Null teilen dürfen, ist eine solche Funktion nicht definiert an den Stellen, an denen der Nenner gleich Null werden würde. Die Definitionslücken heißen auch Polstellen und helfen dir beim Berechnen der Asymptoten. Asymptoten sind Geraden oder Kurven, denen der Graph der Funktion sich annähert, ohne sie jemals zu erreichen. Asymptoten können

• waagerecht,
• senkrecht,
• schief oder
• kurvenförmig sein.

Genauere Aussagen über die Asymptoten kannst du treffen, indem du Zählergrad und Nennergrad der gebrochenrationalen Funktionsgleichung miteinander vergleichst. Mehr darüber erfährst du auf unserer Seite zum Thema Asymptoten.

Exponentialfunktionen haben die allgemeine Form f(x)=a⋅bx$f(x)=a\cdot b^x$. Dabei ist a$a$ der sogenannte Anfangswert – mathematisch betrachtet einfach ein Faktor – und b$b$ wird „Basis“ genannt.

Mit Exponentialfunktionen lassen sich Prozesse beschreiben, die exponentiell ablaufen, zum Beispiel das Wachstum von Bakterien oder der Zerfall radioaktiver Stoffe.

Die bekannteste Exponentialfunktion ist sicher die e-Funktion. Sie heißt so, weil ihre Basis die Eulersche Zahl e ist.

Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen. Auch sie benötigen daher stets eine Basis. Je nachdem, wie die Basis lautet, sehen auch die Graphen von Logarithmusfunktionen unterschiedlich aus.

Du kennst bereits die am häufigsten behandelte Exponentialfunktion, die e-Funktion. Sie hat ein Gegenstück, also eine Umkehrfunktion, unter den Logarithmusfunktionen: Dabei handelt es sich um den natürlichen Logarithmus (den Logarithmus zur Basis e), auch ln-Funktion genannt.

Zu den trigonometrischen Funktionen gehören:

• die Sinus-Funktion f(x)=sin(x)$f(x)=sin(x)$,
• die Cosinus-Funktion f(x)=cos(x)$f(x)=cos(x)$ und
• die Tangens-Funktion f(x)=tan(x)$f(x)=tan(x)$.
  

Die Graphen der Sinus- und Cosinus-Funktionen ähneln Wellen mit einer Periode. Diese Periode hat immer die Länge 2$2$, sofern sie nicht durch Stauchung oder Streckung verändert wird. Die Tangens-Funktion zeichnet sich hingegen durch zahlreiche Definitionslücken aus.

Funktionen können auf vielfältige Weise verändert werden, was sich dann an den Funktionsgraphen erkennen lässt. Die Verschiebung kommt sehr häufig vor. Du kannst die Verschiebung einer Funktion bereits an der Funktionsgleichung erkennen:

• Wird ein Parameter innerhalb der Klammer addiert oder subtrahiert, verschiebt sich der Graph in x-Richtung: f(x+a)$f(x+a)$
• Wird ein Parameter außerhalb der Klammer addiert oder subtrahiert, verschiebt sich der Graph in y-Richtung: f(x)+a$f(x)+a$

Ganz ähnlich verhält es sich mit der Streckung oder Stauchung. Durch einen Faktor größer als 1 kann eine Funktion gestreckt, durch einen Faktor kleiner als 1 gestaucht werden. Ähnlich wie bei der Verschiebung gilt auch hier:

• Wird innerhalb der Klammer mit einem Parameter multipliziert, wird die Funktion in x-Richtung gestaucht: f(a⋅x)$f(a\cdot x)$
• Wird außerhalb der Klammer mit einem Parameter multipliziert, wird die Funktion in y-Richtung gestaucht: f(x)⋅a$f(x)\cdot a$

Darüber hinaus kann eine Funktion auch gespiegelt werden. Um die Funktionsgleichung der Spiegelung zu erhalten, musst du einfach –f(x)$–f(x)$ bilden.

Du kennst nun die gewöhnlichsten Funktionen, mit denen du in der Schule arbeiten wirst. In diesem Abschnitt stellen wir dir noch ein paar Besonderheiten zu Funktionen vor, damit du auf alle Eventualitäten vorbereitet bist.

Die Betragsfunktion

Eine besondere Funktion, die dir im fortgeschrittenen Mathematikunterricht begegnen kann, ist die Betragsfunktion. Während die Zahlen, mit denen du rechnest, ja immer ein Vorzeichen haben, beschreibt der Betrag immer den Abstand einer Zahl zu Null. Das Vorzeichen fällt dabei weg – ein Betrag kann kein negatives Vorzeichen haben.

So ist die lineare Betragsfunktion definiert:

f(x)=|x|{x für x ≥ 0-x für x < 0$f(x)=|x|\{\begin{array}{c}\text{x für x ≥ 0}\\ \text{-x für x < 0}\end{array}$

Du siehst also, dass für x$x$ keine negativen Werte möglich sind.

Die Betragsfunktion ist wichtig, weil sie die Stammfunktion der Signumfunktion ist. Diese lautet wiederum:

sgn(x)=⎧⎩⎨⎪⎪-1 für x < 00 für x = 0+1 für x > 0$sgn(x)=\{\begin{array}{c}\text{-1 für x < 0}\\ \text{0 für x = 0}\\ \text{+1 für x > 0}\end{array}$

Umkehrfunktionen

Bisweilen wirst du die Umkehrfunktion einer Funktion brauchen, um durchgeführte Rechnungen umzukehren. Dabei werden, einfach ausgedrückt, die x- und die y-Werte einer Funktion vertauscht. Das macht es bisweilen nötig, den Definitions- und Wertebereich anzupassen.

Verkettete Funktionen

Verkettete Funktionen sind Funktionen, bei denen mehrere der genannten Funktionstypen miteinander verkettet werden. Besonders häufig erlebst du das bei der e-Funktion: Steht im Exponenten nämlich nicht nur ein x$x$, sondern eine ganze Funktion (Beispiel: f(x)=e2x−3$f(x)=e^{2x-3}$), dann musst du insbesondere beim Ableiten bestimmte Ableitungsregeln beachten – in diesem Fall die Kettenregel.

Auch beim Bilden von Stammfunktionen bedürfen verkettete Funktionen besonderer Aufmerksamkeit.