Gaußsche Glockenkurve – online lernen

Die Bernoulli-Kette

Die Formel von Bernoulli oder Bernoulli-Kette ist ein Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Die Voraussetzung für ihre Benutzung ist ein Zufallsexperiment, bei dem sich während des Experiments die Treffer-Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei einer Durchführung, nicht ändert (Ziehen mit Zurücklegen).

Die Formel lautet:

P(X=k)=B(n,k,p)=(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k$P(X=k)=B(n,k,p)={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$

• n bezeichnet die Länge der Kette, also die Anzahl der Versuche. „Wie oft wird das Experiment durchgeführt?“
• k bestimmt die Anzahl der Erfolge. „Wie oft glückt das Experiment?“
• p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit oder auch Trefferwahrscheinlichkeit.
• P ist die Gesamtwahrscheinlichkeit. „Wie wahrscheinlich ist es, dass das Experiment bei n Durchführungen k-fach, bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p, glückt?“
• (nk)${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$ bezeichnet den sogenannten Binomialkoeffizienten. Er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass bei einer Anzahl von Durchführungen Treffer erzielt werden.
• pk$p^k$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit potenziert mit der Anzahl der Erfolge.
• (1−p)n−k$(1-p{)}^{n-k}$ ist die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Diese folgt daraus, dass von Versuchen das Experiment nur k-mal Erfolg hat. Die restlichen Versuche sind damit Misserfolge.

Beispielaufgabe:

Ein Würfel wird 4-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei 3-mal die 6 zu würfeln?