Funktionenschar E Funktion – online lernen

e-Funktionsscharen

Eine Funktionsschar erhält man, wenn bei einer Funktion eine zusätzliche Unbekannte als Parameter (z.B. k,t,a,...

) enthalten ist. Diese wird dann üblicherweise als Index der Funktion angegeben.

Funktionsuntersuchungen an der Schar folgen den gleichen Regeln wie bei Funktionen. Man behandelt den Parameter dabei als feste Zahl, nach der nicht abgeleitet wird, sondern die beim Ableiten einfach eine Konstante darstellt.

Beispielaufgabe:

Gegeben ist ft(x)=(x−t)⋅e−x;t∈R:

a) Bestimme die Nullstellen von ft

in Abhängigkeit von t.

Lösung:

Für Nullstellen muss ft(x)=0 gelten, also
(x−t)e−x=0⇒(x−t)=0⇒x=t

Jede Funktion der Schar hat also genau eine Nullstelle bei x=t.

b) Bestimme die Art und die Lage der Extremstellen von ft

in Abhängigkeit von t.

Lösung:

Mit der Produktregel bestimmt man
f′t(x)=1⋅e−x+(x−t)⋅e−x⋅(−1)=e−x−(x−t)⋅e−x∣e−x ausklammern=e−x(1−(x−t))=e−x(−x+t+1)

Für Extremstellen muss f′t(x)=0 gelten, also
e−x(−x+t+1)=0⇒(−x+t+1)=0⇒x=t+1

Überprüfe die erste Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel an der Stelle x=t+1

, z.B. mit x=t und x=t+2.
f′t(t)=e−t(−t+t+1)=e−t>0
f′t(t+2)=e−(t+2)(−(t+2)+t+1)=e−t−2(−t−2+t+1)=−e−t<0

Da ein VZW von +

nach − vorliegt, handelt es sich um einen Hochpunkt.
Alternativ ließe sich das auch mithilfe der zweiten Ableitung zeigen.
Der gefundene Hochpunkt liegt bei x=t+1 und ist die einzige Extremstelle von ft.
Die y-Koordinate dazu lautet ft(t+1)=(t+1−t)⋅e−(t+1)=e−t−1,
der Extrempunkt also (t+1∣e−t−1).
Damit hängen sowohl x- als auch y-Koordinate des Extrempunkts von dem Parameter t ab.

Nun gibt es mehrere Möglichkeiten, konkrete Funktionen aus der Funktionsschar zu betrachten (hier am Beispiel der Extrempunkte).

1. Man gibt einen bestimmten Parameter t

   vor und berechnet durch Einsetzen von t
   in die x
   - und y
   -Koordinate den Extrempunkt dieser Funktion:
   Beispiel: Für t=1
   ist der Extrempunkt dann (2∣e−2)
   .

2. Man gibt einen bestimmten Wert für x

   vor, an welcher Stelle der Extremwert liegen soll. Diesen Wert nimmt man als Lösung der Gleichung für die x
   -Koordinate des Extremwerts, löst diese Gleichung nach dem Parameter auf, und setzt diesen Wert dann in die y
   -Koordinate ein.
   Beispiel: Soll bei x=4
   der Extremwert liegen, gilt x=t+1=4⇒t=3
   .
   Die y
   -Koordinate dazu lautet dann y=e−3−1=e−4
   , der Extrempunkt also (4∣e−4)
   .

3. Man gibt einen bestimmten Wert für y
   vor, den der Extremwert haben soll. Diesen Wert nimmt man als Lösung der Gleichung für die y
   -Koordinate des Extremwerts, löst diese Gleichung nach dem Parameter auf, und setzt diesen Wert dann in die x
   -Koordinate ein.
   Beispiel: Soll bei y=e3
   der Extremwert liegen, gilt y=e−t−1=e3⇒−t−1=3⇒t=−4
   .
   Die x
   -Koordinate dazu lautet dann x=−4+1=−3
   , der Extrempunkt also (−3∣e3)
   .