Stetigkeit

Was sind stetige Funktionen überhaupt? Als Erklärung wird gern angeführt, dass du die Graphen solcher Funktionen nahtlos zeichnen kannst – also ohne deinen Stift absetzen zu müssen, weil etwa Lücken oder Sprünge auftreten. Diese Definition ist nicht unbedingt ganz korrekt, genügt aber für eine erste Orientierung.

Natürlich gibt es auch eine mathematische Herangehensweise, mit der du Funktionen auf ihre Stetigkeit prüfen kannst. Dafür betrachtest du unter anderem den Grenzwert an verschiedenen Stellen der Funktion. Wie das geht, erklären wir dir gleich Schritt für Schritt. Es ist aber auf jeden Fall eine gute Idee, dich vorher noch einmal mit dem Thema Grenzwert bzw. Limes vertraut zu machen, wenn du das nicht mehr ganz im Kopf hast.

Eine Funktion ist dann stetig, wenn jede einzelne Stelle der Funktion stetig ist. Du wirst also im Mathematikunterricht sehr wahrscheinlich immer bestimmte Stellen einer Funktion auf ihre Stetigkeit untersuchen. Solche Stellen bezeichnen wir als \(  {x}_{0}  \).

Eine Stelle \(  {x}_{0}  \) muss alle drei der folgenden Kriterien oder Bedingungen erfüllen, damit die Funktion an dieser Stelle stetig ist:

1. Die Funktion muss für die Stelle \(  {x}_{0}  \) überhaupt definiert sein. Das bedeutet, der Wert, den du für  \(  {x}_{0}  \) einsetzen möchtest, muss auch im Definitionsbereich der Funktion liegen. Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht definiert ist, dann können wir die Prüfung auf Stetigkeit hier schon abbrechen.

   Beispiel: 

   \( f \left( x \right)= \frac{1}{x}  \)

   Diese gebrochenrationale Funktion hat bei \(x = 0\) eine Nullstelle im Nenner. Da wir durch Null nicht teilen dürfen, können wir für \(x\) also nicht \(0\) einsetzen – hier hat die Funktion eine Definitionslücke, ist also nicht definiert. Damit ist unsere erste Bedingung für Stetigkeit für  \(  {x}_{0} = 0  \) nicht erfüllt. Wir brauchen dann auch die anderen Kriterien nicht weiter zu prüfen. 

   Aber: Für den Definitionsbereich \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\) \ \( \left\{ 0 \right\}\)  (also wenn wir \( {x}_{0} = 0 \) ausschließen) kann die Funktion stetig sein. 

2. Der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert (Limes) an der Stelle  \(  {x}_{0} = 0  \) müssen gleich sein. Es muss also ein beidseitiger Grenzwert vorliegen. Das bedeutet: Je mehr du dich von beiden Seiten der Stelle  \(  {x}_{0} = 0  \) näherst, desto mehr nähern sich auch die beiden Grenzwerte beliebig nah aneinander an.

3. Der beidseitige Grenzwert muss mit dem Funktionswert (also dem y-Wert) von \(  {x}_{0}  \) übereinstimmen. Das bedeutet: Nachdem du im zweiten Schritt schon den Grenzwert ermittelt hast, setzt du nun \(  {x}_{0}  \) in deine Funktion ein und prüfst, welchen Funktionswert du erhältst. Stimmen beide überein, ist die Funktion stetig.

Mit stetigen Funktionen kannst du rechnen, zum Beispiel die gewohnten Grundrechenarten anwenden. Dabei gilt: Wenn du zwei stetige Funktionen – nennen wir sie \(g(x)\) und \(h(x)\) – durch solche Berechnungen miteinander kombinierst, dann ist auch die neue Funktion \(f(x)\) stetig.
Folgende Rechenarten kannst du nutzen, um stetige Funktionen zu kombinieren, damit diese Regel gilt:

• Addition
• Subtraktion
• Multiplikation
• Division
• Verkettung von Funktionen

Schauen wir uns jetzt ganz praktisch und Schritt für Schritt ein, wie du die Stetigkeit oder Unstetigkeit einer Funktion ermittelst. Dazu gehen wir unsere drei Bedingungen von oben durch. Nehmen wir uns als Beispiel folgende Funktion vor:

\( f \left( x \right) =  \{  {x}^{2} \) für \( x  \neq 0  \) für \(x = 0\)

Sieht das etwas kompliziert aus? Keine Sorge. Es bedeutet lediglich: Wenn du für \(  {x}_{0}  \) eine Zahl einsetzt, die ungleich Null ist, dann lautet deine Funktion \( f \left( x \right) =  {x}^{2}  \). Wenn du für \(  {x}_{0}  \) aber die Zahl Null einsetzt, dann lautet deine Funktion \(f(x) = 1\).

Wir wollen nun ermitteln, ob diese Funktion an der Stelle \(  {x}_{0} = 0 \) stetig ist.
 

Bedingung 1: Die Funktion muss für die Stelle \( {x}_{0} \) überhaupt definiert sein

Um herauszufinden, ob unsere Funktion an dieser Stelle definiert ist, prüfen wir den Definitionsbereich. Diese ist entweder in der Aufgabe schon angegeben oder wir müssen ihn uns selbst erschließen. Die Funktion umfasst zwei mögliche Funktionen, für \(  {x}_{0} = 0 \) gilt die Funktion \(f(x) = 1\). Das ist eine konstante Funktion, und wir wissen, dass für konstante Funktionen gilt: \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\). Unsere zu prüfende Stelle  \(  {x}_{0} = 0 \) gehört also zur Definitionsmenge.
 

Bedingung 2: Der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert an der Stelle \(  {x}_{0} \) müssen gleich sein

Um den rechts- und linksseitigen Grenzwert zu berechnen, müssen wir prüfen, was passiert, wenn unsere x-Werte sich immer mehr unserer Stelle \( {x}_{0}\) annähern. Dabei müssen wir auch berücksichtigen, dass unsere Funktion eine bestimmte Bedingung hat: Für alle x-Werte ungleich Null gilt, dass unsere Funktion \( f \left( x \right) =  {x}^{2}  \) ist.

Legen wir uns zur Bestimmung der Grenzwerte eine Wertetabelle an, mit der wir überprüfen, was passiert, wenn wir uns von beiden Seiten unserer Stelle \( {x}_{0} = 0 \) nähern:
 

Wir können hier erkennen: Sowohl für den linksseitigen (von hohen Minuswerten kommenden) Grenzwert als auch für den rechtsseitigen (von hohen Pluswerten kommenden) Grenzwert gilt: Die y-Werte streben gegen Null. Wir können daher schreiben:

\( f \left( x \right) = f( {x}^{2} ) = 0 \)

Und:

\( f \left( x \right) = f( {x}^{2} ) = 0 \)

Wir sehen auch: Beide Grenzwerte sind gleich, es gibt also einen beidseitigen Grenzwert. Unsere zweite Bedingung für eine stetige Funktion ist damit erfüllt.

Bedingung 3: Der beidseitige Grenzwert muss mit dem Funktionswert von \(  {x}_{0}  \) übereinstimmen

Den beidseitigen Grenzwert kennen wir bereits. Nun prüfen wir noch den Funktionswert an der Stelle \( {x}_{0} \), indem wir \(  {x}_{0} = 0\) in unsere Funktion einsetzen. Dabei müssen wir beachten, dass für \(x = 0\) gilt: \(f(x) = 1\).

Also:

\(f(0) = 1\)

Der beidseitige Grenzwert ist jedoch Null. Somit stimmen Grenzwert und Funktionswert hier nicht überein. Das bedeutet: Die dritte Bedingung ist nicht erfüllt. Es handelt sich also um eine Funktion, die an der Stelle \( {x}_{0} = 0\) unstetig ist.

Du kennst bereits die Bedingungen für die Stetigkeit von Funktionen. Demnach sind die Kriterien für die Unstetigkeit ebenfalls ganz einfach. Eine Bedingung muss auf jeden Fall erfüllt sein. Es ist dieselbe wie die erste Bedingung für stetige Funktionen:

Die Funktion muss für \( {x}_{0} \) überhaupt definiert sein. Wenn das nicht der Fall ist, prüfen wir nicht, ob eine Funktion stetig oder unstetig ist – sie ist an dieser Stelle einfach nicht definiert.

Ist sie jedoch definiert, dann muss (mindestens) eine der folgenden zwei Bedingungen erfüllt sein, damit wir eine Unstetigkeit der Funktion nachweisen können:

1. Es existiert kein beidseitiger Grenzwert, der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0\) unterscheiden sich also.
2. Der beidseitige Grenzwert stimmt nicht mit dem Funktionswert f( \( {x}_{0} \)) überein.

Du siehst: Die Bedingungen für die Unstetigkeit sind einfach nur das Gegenstück zu den Bedingungen für stetige Funktionen.

Wie du weißt, ist eine Bedingung für stetige Funktionen, dass die einzelnen Punkte der Funktion überhaupt definiert sind. Das lässt sich oft dadurch erreichen, dass wir die Definitionsbereiche korrekt festlegen und solche Werte ausschließen, die zu Definitionslücken führen würden. Die folgende Übersicht zeigt dir geeignete Definitionsbereiche, die dazu führen, dass die Funktionen stetig sind (oder sein können).