Ganzrationale Funktionsscharen Qualifikationsphase – online lernen

Ganzrationale Funktionsscharen

Eine Funktionsschar erhält man, wenn bei einer Funktion eine zusätzliche Unbekannte (z.B. k,t,a,...), der Parameter, enthalten ist.

Funktionsuntersuchungen an der Schar folgen den gleichen Regeln wie bei Funktionen. Man behandelt den Parameter dabei als feste Zahl, nicht als Variable.

Beispielaufgaben:

Beispiel 1)
Bestimme die Null- und Extremstellen von fa(x)=x2−2ax,a∈R.

Lösung:

Nullstellen: fa(x)=0
0=x2−2ax⇔0=x(x−2a)⇒x1=0;x2=2a

Extremstellen: f′a(x)=0
0=2x−2a⇔x=a
f″(a)=2>0⇒ Minimum

Beispiel 2)
Bestimme die Nullstellen von fk(x)=3x2−3kx3,k∈R∖{0}.
Für welches k hat fk den Hochpunkt H(2∣4)?

Lösung:

Nullstellen: fk(x)=0
0=3x2−3kx3⇔0=3x2(1−1kx)⇒x1;2=0;x3=k

Hochpunkt: f′k(x)=0
0=6x−9kx2⇔0=3x(2−3kx)⇒x1=0;x2=23k

f″k(x)=6−18kx,
f″k(0)=6>0⇒x1 ist Minimum
f″k(23k)=−6<0⇒x2 ist Maximum

Bestimme
f(23k)=3⋅(23k)2−3k(23k)3=49k2
Die Koordinaten des Hochpunkts in Abhängigkeit von k lauten also
H(23k∣f(23k))=H(23k∣49k2)

Bestimme k so, dass die Koordinaten die gewünschten Werte annehmen:
x-Koordinate: 23k=2⇔k=3
y-Koordinate: 49k2=4⇔k=±3
⇒k=3

Für k=3 hat fk also den Hochpunkt H(2∣4).