Ganzrationale Funktionsscharen Qualifikationsphase – online lernen

Ganzrationale Funktionsscharen

Eine Funktionsschar erhält man, wenn bei einer Funktion eine zusätzliche Unbekannte (z.B. k,t,a,...$k,t,a,...$), der Parameter, enthalten ist.

Funktionsuntersuchungen an der Schar folgen den gleichen Regeln wie bei Funktionen. Man behandelt den Parameter dabei als feste Zahl, nicht als Variable.

Beispielaufgaben:

Beispiel 1)
Bestimme die Null- und Extremstellen von fa(x)=x2−2ax,a∈R$f_a(x)=x^2-2ax,a\in \mathbb{R}$.

Lösung:

Nullstellen: fa(x)=0$f_a(x)=0$
0=x2−2ax⇔0=x(x−2a)⇒x1=0;x2=2a$0=x^2-2ax\iff 0=x(x-2a)\Rightarrow x_1=0;x_2=2a$

Extremstellen: f′a(x)=0$f_a^{\prime }(x)=0$
0=2x−2a⇔x=a$0=2x-2a\iff x=a$
f′′(a)=2>0⇒$f^{″}(a)=2>0\Rightarrow$ Minimum

Beispiel 2)
Bestimme die Nullstellen von fk(x)=3x2−3kx3,k∈R∖{0}$f_k(x)=3x^2-\frac{3}{k}{x}^3,k\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}$.
Für welches k$k$ hat fk$f_k$ den Hochpunkt H(2∣4)$H\left(2\mid 4\right)$?

Lösung:

Nullstellen: fk(x)=0$f_k(x)=0$
0=3x2−3kx3⇔0=3x2(1−1kx)⇒x1;2=0;x3=k$0=3x^2-\frac{3}{k}{x}^3\iff 0=3x^2(1-\frac{1}{k}x)\Rightarrow x_{1;2}=0;x_3=k$

Hochpunkt: f′k(x)=0$f_k^{\prime }(x)=0$
0=6x−9kx2⇔0=3x(2−3kx)⇒x1=0;x2=23k$0=6x-\frac{9}{k}{x}^2\iff 0=3x(2-\frac{3}{k}x)\Rightarrow x_1=0;x_2=\frac{2}{3}k$

f′′k(x)=6−18kx,$f_k^{″}(x)=6-\frac{18}{k}x,$
f′′k(0)=6>0⇒x1$f_k^{″}(0)=6>0\Rightarrow x_1$ ist Minimum
f′′k(23k)=−6<0⇒x2$f_k^{″}(\frac{2}{3}k)=-6<0\Rightarrow x_2$ ist Maximum

Bestimme
f(23k)=3⋅(23k)2−3k(23k)3=49k2$f\left(\frac{2}{3}k\right)=3\cdot (\frac{2}{3}k{)}^2-\frac{3}{k}(\frac{2}{3}k{)}^3=\frac{4}{9}{k}^2$
Die Koordinaten des Hochpunkts in Abhängigkeit von k$k$ lauten also
H(23k∣f(23k))=H(23k∣49k2)$H\left(\frac{2}{3}k\mid f(\frac{2}{3}k)\right)=H\left(\frac{2}{3}k\mid \frac{4}{9}{k}^2\right)$

Bestimme k$k$ so, dass die Koordinaten die gewünschten Werte annehmen:
x$x$-Koordinate: 23k=2⇔k=3$\frac{2}{3}k=2\iff k=3$
y$y$-Koordinate: 49k2=4⇔k=±3$\frac{4}{9}{k}^2=4\iff k=\pm 3$
⇒k=3$\Rightarrow k=3$

Für k=3$k=3$ hat fk$f_k$ also den Hochpunkt H(2∣4)$H\left(2\mid 4\right)$.