Produktregel

Während Ableitungsregeln für konstante Funktionen oder Potenzen sehr überschaubar sind, wird die Sache etwas komplexer, wenn die Funktion, deren Ableitung du berechnen möchtest, ein Produkt aus zwei Teilfunktionen enthält. Aber keine Sorge: Die Rechnung wird nicht wirklich schwieriger, solange du den Überblick behältst. Das üben wir gleich an ein paar Beispielen.

Doch lass uns zuerst schauen, wann du die Produktregel überhaupt anwendest. Dass eine Funktion aus einem Produkt besteht, erkennst du einfach gesagt daran, dass sowohl links als auch rechts vom Malpunkt ein Term steht, der eine Variable (meist x$x$) enthält. So könnte eine solche Funktion zum Beispiel aussehen:

f(x)=(3x2−2)⋅(7x3+2x)$f(x)=(3x^2-2)\cdot (7x^3+2x)$

Wie du siehst, enthält diese Funktion ein Produkt aus zwei Teilfunktionen. Sehr häufig wirst du die Produktregel auch anwenden, wenn eine der beiden Teilfunktionen eine e-Funktion ist.

Werfen wir einen Blick auf die Formel für die Produktregel.

So sieht die Formel für die Produktregel aus:

Hier noch einmal unsere Beispielfunktion: f(x)=(3x2−2)⋅(7x3+2x)$f(x)=(3x^2-2)\cdot (7x^3+2x)$

Für die Arbeit mit der Produktregel gilt nun:

• f(x)$f(x)$ ist deine ursprüngliche Funktion und f′(x)$f^{\prime }(x)$ ist die Ableitung, die du bilden möchtest.
  
• g(x)$g(x)$ steht für die erste Teilfunktion in deiner Funktion f(x)$f(x)$ (in unserem Beispiel: (3x2−2)$(3x^2-2)$) und g′(x)$g^{\prime }(x)$ für die Ableitung davon.
  
• h(x)$h(x)$ steht für die zweite Teilfunktion (im Beispiel: (7x3+2x)$(7x^3+2x)$) und h′(x)$h^{\prime }(x)$ für die entsprechende Ableitung.

In unserer Beispielfunktion f(x)=(3x2−2)⋅(7x3+2x)$f(x)=(3x^2-2)\cdot (7x^3+2x)$ kannst du die Ableitungen für die beiden Faktoren mithilfe der Regeln berechnen, die du bereits kennst – nämlich mit den Potenz- und Faktorregeln.

Daher kannst du folgendes Vorgehen nutzen, um mit der Produktregel die Ableitung deiner Funktion zu bilden:

1. Formel aufschreiben
2. Ableitungen der beiden Teilfunktionen bilden
3. Produktregel anwenden
4. Gegebenenfalls vereinfachen

Zeit für ein paar Beispiele!

Wie bereits erwähnt, wirst du die Produktregel häufig im Zusammenhang mit der e-Funktion nutzen. Das liegt daran, dass es in anderen Fällen gar nicht immer sinnvoll ist, die Produktregel zu nutzen. Denn: Häufig lassen sich Funktionen, die zwei Faktoren (Teilfunktionen) enthalten, schon im Vorfeld vereinfachen, zum Beispiel, indem du die Klammern auflöst und dann ohne die Produktregel (dafür vielleicht mit der Summen- oder Differenzregel) ableitest.

Dennoch schauen wir uns die Produktregel zunächst an genau so einem Beispiel an, damit du sie gut nachvollziehen kannst.

Beispiel 1

Wir nutzen unsere oben genannte Aufgabe:

f(x)=(3x2−2)⋅(7x3+2x)$f(x)=(3x^2-2)\cdot (7x^3+2x)$

Schritt 1: Formel für die Produktregel aufschreiben

Die Ableitung bilden wir mithilfe der Produktregel auf folgende Weise:

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$

Schritt 2: Ableitungen der beiden Teilfunktionen bilden

Unsere Funktion besteht aus den beiden Teilfunktionen

g(x)=(3x2−2)$g(x)=(3x^2-2)$

und

h(x)=(7x3+2x)$h(x)=(7x^3+2x)$

Diese leiten wir nun beide einzeln ab:

g(x)=(3x2−2)$g(x)=(3x^2-2)$

g′(x)=6x$g^{\prime }(x)=6x$

Hier haben wir die Faktor- und Potenzregel genutzt, um die Ableitung zu bilden. Für h′(x)$h^{\prime }(x)$ tun wir das ebenfalls:

h(x)=(7x3+2x)$h(x)=(7x^3+2x)$

h′(x)=21x2+2$h^{\prime }(x)=21x^2+2$

Da wir g(x)$g(x)$, g′(x)$g^{\prime }(x)$, h(x)$h(x)$ und h′(x)$h^{\prime }(x)$ ermittelt haben, können wir nun alle diese Bestandteile in die Formel für die Produktregel einsetzen.

Schritt 3: Produktregel anwenden

Die Produktregel lautet:

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$

Wir setzen ein:

f′(x)=$f^{\prime }(x)=$g′(x)$g^{\prime }(x)$⋅$\cdot$ h(x)$h(x)$+$+$g(x)$g(x)$⋅$\cdot$h′(x)$h^{\prime }(x)$

f′(x)=$f^{\prime }(x)=$6x$6x$⋅$\cdot$(7x3+2x)$(7x^3+2x)$+$+$(3x2−2)$(3x^2-2)$⋅$\cdot$(21x2+2)$(21x^2+2)$

Damit hast du die Ableitung bereits gebildet. Häufig wirst du diese anschließend noch vereinfachen müssen.

Schritt 4: Vereinfachen

f′(x)=$f^{\prime }(x)=$6x$6x$⋅$\cdot$(7x3+2x)$(7x^3+2x)$+$+$(3x2−2)$(3x^2-2)$⋅$\cdot$(21x2+2)$(21x^2+2)$

Um zu vereinfachen, lösen wir zunächst die Klammern auf:

f′(x)=42x4+12x2+63x4+6x2−42x2−4$f^{\prime }(x)=42x^4+12x^2+63x^4+6x^2-42x^2-4$

f′(x)=105x4−24x2−4$f^{\prime }(x)=105x^4-24x^2-4$

Beispiel 2

In der oben genannten Aufgabe hättest du die Möglichkeit gehabt, die Funktion vor der Ableitung zu vereinfachen, um so ganz ohne Anwendung der Produktregel ableiten zu können. Das funktioniert allerdings nicht mehr, wenn eine deiner Teilfunktionen eine besondere Funktion wie beispielsweise die e-Funktion ist:

f(x)=(3x3+6)⋅e−2x$f(x)=(3x^3+6)\cdot {\mathrm{e}}^{-2x}$

In diesem Fall benötigst du die Produktregel zum Berechnen der Ableitung. Zunächst verschaffen wir uns einen Überblick über die beiden Teilfunktionen:

g(x)=(3x2+6)$g(x)=(3x^2+6)$

h(x)=e−2x$h(x)={\mathrm{e}}^{-2x}$

Nun können wir in unseren gewohnten Schritten vorgehen.

Schritt 1: Formel für die Produktregel aufschreiben

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$

Schritt 2: Ableitungen der beiden Teilfunktionen bilden

Unsere Teilfunktion g(x)$g(x)$ können wir leicht mit den bekannten Regeln ableiten:

g′(x)=6x$g^{\prime }(x)=6x$

Bei der Teilfunktion h(x)$h(x)$ ist es etwas schwieriger. Hier benötigst du zusätzlich die Kettenregel, da es sich bei h(x)=e−2x$h(x)={\mathrm{e}}^{-2x}$ um eine verkettete Funktion handelt. Du kannst genau nachlesen, wie die Kettenregel funktioniert. Hier zeigen wir dir jedoch einfach das Ergebnis, um anschließend mit der Produktregel weiterrechnen zu können:

h′(x)=−2e−2x$h^{\prime }(x)=-2{\mathrm{e}}^{-2x}$

Nun haben wir wieder g(x)$g(x)$, h(x)$h(x)$, g′(x)$g^{\prime }(x)$ und h′(x)$h^{\prime }(x)$ bestimmt und können in die Formel der Produktregel einsetzen.

Schritt 3: Produktregel anwenden

Die Produktregel lautet:

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$

Wir setzen ein:

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$

f′(x)=6x⋅e−2x+(3x2+6)⋅(−2e−2x)$f^{\prime }(x)=6x\cdot {\mathrm{e}}^{-2x}+(3x^2+6)\cdot (-2{\mathrm{e}}^{-2x})$

Du hast erfolgreich die Ableitung gebildet.

Beispiel 3

Auch wenn eine deiner beiden Teilfunktionen beispielsweise eine Sinusfunktion ist, kannst du auf die Anwendung der Produktregel nicht verzichten. Hier folgen die Erklärungen dazu – wir nehmen folgende Aufgabe als Beispiel:

f(x)=x3⋅sin(x)$f(x)=x^3\cdot \sin (x)$

Wir haben folgende zwei Teilfunktionen:

g(x)=x3$g(x)=x^3$

h(x)=sin(x)$h(x)=\sin (x)$

Wieder gehen wir unsere drei Schritte durch.

Schritt 1: Formel für die Produktregel aufschreiben

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$

Schritt 2: Ableitungen der beiden Teilfunktionen bilden

g(x)=x3$g(x)=x^3$

g′(x)=3x2$g^{\prime }(x)=3x^2$

h(x)=sin(x)$h(x)=\sin (x)$

h′(x)=cos(x)$h^{\prime }(x)=\cos (x)$

Schritt 3: Produktregel anwenden

Die Produktregel lautet:

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$

Wir setzen ein:

f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$

f′(x)=3x2⋅sin(x)+x3⋅cos(x)$f^{\prime }(x)=3x^2\cdot \sin (x)+x^3\cdot \cos (x)$

Fertig! Ein Vereinfachen ist hier nicht mehr möglich.

Was kannst du tun, wenn die Funktion, die du ableiten sollst, nicht nur zwei, sondern sogar drei Faktoren bzw. Teilfunktionen enthält? Auch dafür gibt es eine Regel. Einfach erklärt wird jeder der drei Faktoren abgeleitet und dann mit den anderen beiden Faktoren in ihrer ursprünglichen Form multipliziert. Die entstehenden Terme werden dann addiert. Als Formel sieht das so aus – die dritte Teilfunktion nennen wir hier der Einfachheit halber i(x)$i(x)$:

f(x)=g(x)⋅h(x)⋅i(x)$f(x)=g(x)\cdot h(x)\cdot i(x)$

f′(x)=g′(x)⋅h(x)⋅i(x)+g(x)⋅h′(x)⋅i(x)+g(x)⋅h(x)⋅i′(x)$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)\cdot i(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)\cdot i(x)+g(x)\cdot h(x)\cdot i^{\prime }(x)$

Das restliche Verfahren funktioniert ganz genauso, wie du es bisher gelernt hast – nur die Rechnung ist etwas länger. In den allermeisten Fällen wirst du die Produktregel aber nur mit zwei Faktoren anwenden. Häufig kommt sie auch in Kombination mit der Kettenregel vor.

Möchtest du auch die anderen Ableitungsregeln üben? Dann trainiere online mit unseren zahlreichen Übungsaufgaben und lies unsere ausführlichen Erklärungen auch zu folgenden Regeln:

• Faktorregel und Potenzregel

• Summenregel und Differenzregel

• Quotientenregel

• Kettenregel