Binomialverteilung – online lernen

Wahrscheinlichkeit in Nicht-Laplace-Räumen

Anders als in Laplace Räumen muss nicht jedes Ergebnis eines Ergebnisraumes mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten.

In solchen allgemeineren Zufallsexperimenten muss man sich ein wenig genauer überlegen, wie man die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, oder Ereignisses berechnet.

Was auch in solchen Fällen gilt, ist der Grundsatz, dass man günstige Fälle in ein Verhältnis zu allen Fällen setzt.

Beispiel: In einer Schulklasse mit 30 Kindern sind 18 Mädchen und 12 Jungen. Davon ausgehend, dass ein „fairer“ (Laplace-)Lehrer ein zufälliges Kind aufruft, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es:

a) Ein Junge?

P(J)=JungenanzahlKindergesamtzahl=1230=25=0,4=40$P(J)=\frac{Jungenanzahl}{Kindergesamtzahl}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}=0,4=40$%

b) Ein Mädchen?

P(M)=MädchenanzahlKindergesamtzahl=1830=35=0,6=60$P(M)=\frac{Mädchenanzahl}{Kindergesamtzahl}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}=0,6=60$%

Auch hier funktionieren also die grundlegenden Ideen des Wahrscheinlichkeitsbegriffs. Und auch ein solches Experiment kann mehrstufig sein.

Davon ausgehend, dass der Lehrer keine Rücksicht darauf nimmt, wen er schon einmal drangenommen hat (doppelt oder dreifach drankommen ist also möglich), kann man das obige Beispiel auch noch ausbauen.

Im Wiki Wahrscheinlichkeitsexperimente in Nicht-Laplace-Räumen II findet sich ein entsprechender Ausbau des Beispiels.

Wahrscheinlichkeit und Laplace-Formel

Sind die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes endlich und gleich wahrscheinlich, kann man mit der Laplace-Formeldie Wahrscheinlichkeit bestimmen.

Es gilt dann für die Wahrscheinlichkeit P(A)$P(A)$ eines Ereignisses A:P(A)=|A||Ω|$A:P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}$ 

Bemerkung: A$A$ bezeichnet ein Ereignis und enthält als Elemente Ergebnisse, die auch in Ω$\mathrm{\Omega }$ liegen. A$A$ ist also eine Teilmenge von Ω$\mathrm{\Omega }$. |A|,|Ω|$|A|,|\mathrm{\Omega }|$ bezeichnet die Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) der Mengen. Vereinfacht sagt man:

P(A)=AnzahlderErgebnisse,beidenenAeintrittAnzahlallerErgebnisse$P(A)=\frac{AnzahlderErgebnisse,beidenenAeintritt}{AnzahlallerErgebnisse}$ 

Beispiel 1: Ausgehend von einem fairen, 6-seitigen Würfel mit  Ω=$\mathrm{\Omega }=$ {1,2,3,4,5,6$1,2,3,4,5,6$}. Wie lauten die Wahrscheinlichkeiten von:

a) A=$A=$ {1,5$1,5$}

|A|=2,|Ω|=6$|A|=2,|\mathrm{\Omega }|=6$

Mit der Laplace Formel folgt: P(A)=26=13=33,33$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=33,33$%

b) B=$B=$ {2,3,4,5$2,3,4,5$}

|B|=4,|Ω|=6$|B|=4,|\mathrm{\Omega }|=6$

Mit der Laplace Formel folgt: P(B)=46=23=66,66$P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}=66,66$%

Beispiel 2: Es werden zwei 6-seitige Würfel geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 7 zu erhalten?

Zuerst müssen wir uns überlegen, wie viele Ereignisse möglich sind. Der erste Würfel hat sechs mögliche Ausgänge, der zweite wieder sechs. Also gibt es insgesamt 6 · 6 = 36 mögliche Ausgänge unseres Experiments. Nun überlegen wir, welche Kombinationen zu der Augensumme 7 führen. Wir stellen fest, dass folgende Ereignisse günstig sind {1,6}, {2,5}, {3,4}, {4,3}, {5,2}, {6,1}. Insgesamt haben wir also 6 günstige Ausgänge. 

Demnach gilt für dann die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7: 

P(Augensumme=7)=636=16$P(Augensumme=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

Achtung: Es ist zu unterscheiden, welcher Würfel welche Zahl liefert! Darum sind z. B. {1,6} und {6,1} unterschiedliche Ereignisse!

Der Binomialkoeffizient

Mit dem Binomialkoeffizient bestimmt man die Anzahl der Möglichkeiten aus einer Menge mit n Elementen, eine Teilmenge mit k Elementen auszuwählen.

Das Ziehen selbst erfolgt ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge!

Die Formel lautet:

(nk)=n!k!⋅(n−k)!${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

wobei n!=n⋅(n−1)⋅...⋅3⋅2⋅1$n!=n·(n-1)·...·3·2·1$. (siehe Wiki: Fakultät)

Man spricht (nk)${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$ „n über k“.

Beispiel 1) Aus einer Klasse mit 25 Schülern soll eine Fußballmannschaft (11 Spieler) ausgewählt werden. Wie viele mögliche Teams können aus den Schülern gebildet werden?

Beispiel 2) Diese Mannschaft fährt zu einem Turnier, an dem 8 Mannschaften teilnehmen. Wie viele verschiedene Kombinationen gibt es für das Finale?