F'(X)=0 – online lernen

Extremwertprobleme

Innermathematische Aufgaben

Bei Extremwertproblemen (oder auch Optimierungsaufgaben) geht es um die Optimierung von Größen. Betrachtet man sich einen Prozess, so kann dieser in einzelnen Teilen von mehreren solcher Größen abhängen. Man wählt sich eine dieser Größen aus und versucht nach dieser den Prozess zu maximieren oder zu minimieren. Dabei stellt man immer die zu optimierende Größe als Funktion dar. Um diese zu maximieren oder zu minimieren bietet sich es häufig an, die Ableitung zu bilden.

In der Mathematik wird häufig nach einer Eigenschaft von einer Funktion oder eines Funktionsgraphen gesucht, welche dann optimiert werden soll. Beispielsweise könnte der Flächeninhalt eines Rechtecks von der Lage eines Extremwerts, einer Nullstelle und der Abszisse abhängen. Will man nun den maximalen Flächeninhalt bestimmen, stellt man diesen als Funktion bezüglich Länge und Breite dar. Anschließend sucht man eine Möglichkeit, eine Variable durch die andere auszudrücken.

Beispielaufgabe

Bestimme den Flächeninhalt des größten Rechtecks, welches sich gänzlich in der eingeschlossenen Fläche zwischen den rechts abgebildeten Funktionsgraphen von f(x)=3(x−5)2−5$f\left(x\right)=3{\left(x-5\right)}^2-5$ und g(x)=−2(x−5)2+7$g\left(x\right)=-2{\left(x-5\right)}^2+7$ befindet.

Lösung:

Man stellt zunächst die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks auf:

A=l⋅b$A=l\cdot b$

Anschließend muss man mithilfe der Funktionsgleichungen einen Ersatzausdruck für l$l$ und b$b$ finden. Dieser soll abhängig von x$x$ sein. Man halbiert dazu das Rechteck an der Senkrechten x=5$x=5$ und betrachtet zunächst nur die Hälfte davon. So ergeben sich folgende Ausdrücke:

für die Länge l=(x−5)$l=\left(x-5\right)$;
für die Breite

Die Fläche des halbierten Rechtecks beträgt damit dann

Zur Maximierung leitet man diese Funktion ab und bestimmt die Nullstellen:

A′(x)=−15(x−5)2+12$A^{\prime }\left(x\right)=-15{\left(x-5\right)}^2+12$ mit den Nullstellen x1≈5,894$x_1\approx \mathrm{5,894}$ und x2≈4,106$x_2\approx \mathrm{4,106}$

Damit liegt der maximale Flächeninhalt vor, wenn das Rechteck von den Senkrechten
x1=5,894$x_1=\mathrm{5,894}$ und x2=4,106$x_2=\mathrm{4,106}$ begrenzt wird.

Der maximale Flächeninhalt des kompletten Rechtecks ergibt sich damit zu

Amax=2⋅A(x1)≈2⋅7,155=14,31$A_{max}=2\cdot A(x_1)\approx 2\cdot \mathrm{7,155}=14,31$