F'(X)=0 – online lernen
Mit den innermathematischen Aufgaben trainierst du das in der Theorie angeeignete Wissen. Hier wird dir gezeigt, wozu man Hoch- und Tiefpunkte, Wendestellen, usw. braucht.
Extremwertprobleme
Innermathematische Aufgaben
Bei Extremwertproblemen (oder auch Optimierungsaufgaben) geht es um die Optimierung von Größen. Betrachtet man sich einen Prozess, so kann dieser in einzelnen Teilen von mehreren solcher Größen abhängen. Man wählt sich eine dieser Größen aus und versucht nach dieser den Prozess zu maximieren oder zu minimieren. Dabei stellt man immer die zu optimierende Größe als Funktion dar. Um diese zu maximieren oder zu minimieren bietet sich es häufig an, die Ableitung zu bilden.
In der Mathematik wird häufig nach einer Eigenschaft von einer Funktion oder eines Funktionsgraphen gesucht, welche dann optimiert werden soll. Beispielsweise könnte der Flächeninhalt eines Rechtecks von der Lage eines Extremwerts, einer Nullstelle und der Abszisse abhängen. Will man nun den maximalen Flächeninhalt bestimmen, stellt man diesen als Funktion bezüglich Länge und Breite dar. Anschließend sucht man eine Möglichkeit, eine Variable durch die andere auszudrücken.
Beispielaufgabe
Bestimme den Flächeninhalt des größten Rechtecks, welches sich gänzlich in der eingeschlossenen Fläche zwischen den rechts abgebildeten Funktionsgraphen von f(x)=3(x−5)2−5 und g(x)=−2(x−5)2+7 befindet.
Lösung:
Man stellt zunächst die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks auf:
A=l⋅b
Anschließend muss man mithilfe der Funktionsgleichungen einen Ersatzausdruck für l und b finden. Dieser soll abhängig von x sein. Man halbiert dazu das Rechteck an der Senkrechten x=5 und betrachtet zunächst nur die Hälfte davon. So ergeben sich folgende Ausdrücke:
für die Länge l=(x−5);
für die Breite b=g(x)−f(x)=−5(x−5)2+12.
Die Fläche des halbierten Rechtecks beträgt damit dann
A(x)=(x−5)⋅(−5(x−5)2+12)=−5(x−5)3+12(x−5)
Zur Maximierung leitet man diese Funktion ab und bestimmt die Nullstellen:
A′(x)=−15(x−5)2+12 mit den Nullstellen x1≈5,894 und x2≈4,106
Damit liegt der maximale Flächeninhalt vor, wenn das Rechteck von den Senkrechten
x1=5,894 und x2=4,106 begrenzt wird.
Der maximale Flächeninhalt des kompletten Rechtecks ergibt sich damit zu
Amax=2⋅A(x1)≈2⋅7,155=14,31
Innermathematische Aufgaben
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 931
Innermathematische Aufgaben
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 5778
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 5779
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 932
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 5780
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 933
| Extremwertprobleme Innermathematische Aufgaben | Schwierigkeitsgrad 1 Serie 1 |
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \[f\left(x\right)=-x^{2}+9\].
Zwischen \[f\] und der \[x\]-Achse soll ein Rechteck einbeschrieben werden, das einen möglichst großen Flächeninhalt besitzen soll (siehe Abbildung).
- Wie lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks?
- Bestimme Höhe und Breite des abgebildeten Rechtecks in Abhängigkeit der Funktion.
Tipp: Nutze die Symmetrie der Funktion aus.
Schreibe diese Abhängigkeit als Funktion \[A\left(x\right)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\]. - Für welches \[x\] wird die Flächenfunktion maximal?
- Wie groß ist dann der Flächeninhalt?
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion\[f(x)=e^{-(x-2)}\], unter deren Funktionsgraphen ein Rechteck einbeschrieben ist, das mit der \[x\]-Achse und der \[y\]-Achse abschließt (siehe Abbildung).
- Berechne den \[x\]-Wert der Funktion \[f\], bei der das beschriebene Rechteck den maximalen Flächeninhalt einnimmt.
- Wie groß ist dieser Flächeninhalt?
Aufgabe 3
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
| Aussage | richtig | falsch | |
| a) | Ist die Flächenfunktion eine Parabel, so gibt es nur dann einen \[x\]-Wert für eine maximale Fläche, wenn die Parabel nach unten geöffnet ist. | ||
| b) | \[x\]-Werte einer maximalen Fläche werden mit Hilfe von Integralen berechnet. | ||
| c) | \[x\]-Werte einer maximalen Fläche werden mit Hilfe der Ableitung \[A'(x)\] berechnet. | ||
| d) | Es gibt immer auch eine minimale Fläche \[A>0\]. |
