Extremstellen berechnen

Mithilfe der Extremstellen kannst du herausfinden, wo eine Funktion bzw. deren grafisch dargestellte Kurve ihre Hochpunkte und Tiefpunkte hat. Beim Berechnen der Extremstellen kannst du allerdings auch auf Sattelpunkte stoßen. Außerdem ist es wichtig zu wissen, woran du einen Hoch- bzw. Tiefpunkt exakt identifizieren kannst. Dazu brauchst du die erste und die zweite Ableitung deiner Funktion. Lies daher gern noch einmal die Ableitungsregeln durch. Fertig? Dann zeigen wir dir jetzt Schritt für Schritt, wie das Berechnen von Extremstellen funktioniert.

Tipp: Erinnerst du dich noch daran, was Extremstellen bzw. Hoch- und Tiefpunkte sind? Wenn nicht, dann kannst du hier alles über Extremstellen nachlesen.

Wir gehen in folgenden sechs Schritten vor, um die Extremstellen einer Funktion zu berechnen. Beachte: Es kann sein, dass du keine Extremstellen findest. Das ist dann der Fall, wenn du die erste Ableitung der Funktion gleich Null setzt und es für diese Gleichung keine Lösung gibt. Warum das so ist? Darauf gehen wir gleich noch genauer ein! 

Hier erst einmal die sechs Schritte zum Berechnen der Extremstellen:

1. Die erste Ableitung der Funktion bilden.
2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen.
3. Die zweite Ableitung der Funktion bilden.
4. Die gefundenen Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen.
5. Ermitteln, ob Extremstellen gefunden wurden.
6. Den Extremwert (die y-Koordinate) der gefundenen Extrempunkte berechnen.

Klingt das kompliziert? An einem Beispiel wird es bestimmt gleich klarer. 

Gehen wir ein ausführliches Beispiel durch, an dem du genau nachvollziehen kannst, wie du eventuelle Extrempunkte findest und bestimmst. Wir wählen dafür folgende Aufgabe: 

f(x)=13x3+12x2−2x$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-2x$

Schritt 1: Die erste Ableitung der Funktion bilden

Um die erste Ableitung dieser Funktion zu bilden, benötigen wir verschiedene Ableitungsregeln: die Potenzregel und Faktorregeln sowie die Summen- und Differenzregeln. Wir erhalten dann folgende Lösung

f(x)=13x3+12x2−2x$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-2x$

f′(x)=x2+x−2$f^{\prime }(x)=x^2+x-2$

Schritt 2: Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen

Warum müssen wir die Nullstellen berechnen? Extremstellen sind die höchsten bzw. tiefsten Punkte einer Funktion. Die Kurve verändert hier ihr Monotonieverhalten, also entweder von steigend zu fallend oder von fallend zu steigend. Dabei gibt es genau einen Punkt, an dem die Kurve weder steigt, noch fällt – die Steigung ist gleich Null. Wie du sicher noch weißt, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. 

Wir wollen also herausfinden, an welcher Stelle bzw. welchen Stellen einer Funktion die Steigung gleich Null ist, denn dort könnten sich Extremstellen befinden. Dazu berechnen wir daher die Nullstellen der ersten Ableitung: 

0=x2+x−2$0=x^2+x-2$

Da diese Gleichung keinen Vorfaktor vor dem x2$x^2$ hat, können wir sie mit der p-q-Formel lösen. Hätte sie zum Beispiel 0=0=3x2+x−2$0=0=3x^2+x-2$ geheißen, hättest du stattdessen die Mitternachtsformel verwenden müssen. 

Für diese Aufgabe verwenden wir aber die p-q-Formel: 

0=x2+(1)x−2$0=x^2+(1)x-2$

x1,2=−p2±(p2)2−q−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

x1,2=−12±(12)2−(−2)−−−−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-(-2)}$

x1,2=−12±14+2−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+2}$

x1,2=−12±2,25−−−−√$x_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{2,25}$

x1,2=−12±1,5$x_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm 1,5$

x1=1$x_1=1$

x2=−2$x_2=-2$

Fertig! Was sagen dir diese Zahlen? Du weißt nun, dass sich bei den x-Koordinaten 1$1$ und −2$-2$ Extremstellen befinden könnten. Um herauszufinden, ob das tatsächlich der Fall ist, brauchst du die zweite Ableitung.

Schritt 3: Die zweite Ableitung der Funktion bilden

Unsere ursprüngliche Funktion lautet:

f(x)=13x3+12x2−2x$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-2x$

Wir haben bereits die erste Ableitung gebildet:

f′(x)=x2+x−2$f^{\prime }(x)=x^2+x-2$

Diese kannst du nun erneut ableiten und erhältst dann folgende Gleichung:

f′′(x)=2x+1$f^{″}(x)=2x+1$

Was sagt uns die zweite Ableitung? Sie gibt uns Auskunft über das Krümmungsverhalten einer Funktion. Wie du vielleicht noch weißt, zeichnen sich Extrempunkte – Hoch- und Tiefpunkte – dadurch aus, dass die Steigung in diesen Punkten gleich Null ist, die Krümmung der Kurve sich aber nicht verändert. Anhand einer grafischen Darstellung kannst du sehr gut erkennen, dass die Krümmung gleich bleiben muss, damit ein Minimum oder Maximum entstehen kann:

Mathematisch ausgedrückt erkennen wir das an der zweiten Ableitung: Wenn diese in den berechneten Punkten ungleich Null ist, verändert sich die Krümmung der Kurve nicht und wir haben Extremstellen gefunden.

Schritt 4: Die gefundenen Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen

Wir prüfen mithilfe der zweiten Ableitung, ob unsere gefundenen möglichen Extremstellen tatsächlich Hoch- bzw. Tiefpunkte sind. Dazu setzen wir unsere zwei ermittelten Nullstellen in die Gleichung der zweiten Ableitung ein. Was wir bereits wissen:

x1=1$x_1=1$

x2=−2$x_2=-2$

f′′(x)=2x+1$f^{″}(x)=2x+1$

Wir setzen ein:

f′′(1)=2⋅1+1=3$f^{″}(1)=2\cdot 1+1=3$

f′′(−2)=2⋅(−2)+1=−4+1=−3$f^{″}(-2)=2\cdot (-2)+1=-4+1=-3$

Schritt 5: Ermitteln, ob Extremstellen gefunden wurden

Was verraten uns nun die Ergebnisse, die wir mithilfe der zweiten Ableitung gewonnen haben? Sie helfen uns zu unterscheiden, ob wir tatsächlich Extremstellen berechnen konnten oder ob wir stattdessen Sattelpunkte gefunden haben. Wie wir die Ergebnisse zu deuten haben, verraten uns die Bedingungen für einen Sattelpunkt. Sie lauten:

f′(x)=0$f^{\prime }(x)=0$

f′′(x)=0$f^{″}(x)=0$

f′′′(x)≠0$f^{‴}(x)\ne 0$

Wie wir in Schritt 4 bereits ermittelt haben, gilt für unsere möglichen Extremstellen: 

f′′(1)=3$f^{″}(1)=3$

f′′(−2)=−3$f^{″}(-2)=-3$

Beide Werte sind ungleich Null – und damit also keine Sattelpunkte. Wir wissen nun mit Bestimmtheit: Wir haben Hoch- und Tiefpunkte entdeckt!

Doch wir wissen noch mehr, denn es gilt außerdem folgende Regel:

Dazu kannst du dir folgende Eselsbrücke merken: 

• Ist das Ergebnis aus der zweiten Ableitung positiv, ähnelt die Kurve einem Smiley (der ja bekanntlich auch positiv ist): 😊 Der Mund ist geformt wie eine Kurve mit Tiefpunkt.
• Ist das Ergebnis aus der zweiten Ableitung negativ, sieht die Kurve aus wie ein (negativer) Frowney: ☹ Auch hier kannst du die Kurve mit Hochpunkt im Mund erkennen. 

Schritt 6: Den Extremwert (die y-Koordinate) der gefundenen Extrempunkte berechnen

Bisher kennen wir nur die x-Werte unserer beiden Extremstellen: Es sind die Nullstellen der ersten Ableitung, nämlich: 

T=(1|?)$T=(1|?)$

H=(−2|?)$H=(-2|?)$

Das T und das H stehen hier für „Tiefpunkt“ und „Hochpunkt“. Nun benötigen wir natürlich auch die y-Werte, damit wir die exakte Position der Extrempunkte ermitteln können. Wie berechnen wir diese? Wir setzen die uns jetzt bekannte x-Koordinate in die Gleichung unserer ursprünglichen Funktion ein:

f(x)=13x3+12x2−2x$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-2x$

Zunächst setzen wir x=1$x=1$ ein:

f(1)=13⋅13+12⋅12−2⋅1$f(1)=\frac{1}{3}\cdot 1^3+\frac{1}{2}\cdot 1^2-2\cdot 1$

f(1)=13⋅1+12⋅1−2$f(1)=\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 1-2$

f(1)=13+12−2$f(1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2$

f(1)=26+36−126$f(1)=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}-\frac{12}{6}$

f(1)=−76≈−1,17$f(1)=-\frac{7}{6}\approx -1,17$

Das bedeutet: Unsere erste Extremstelle, der Tiefpunkt, liegt bei T=(1|−1,17)$T=(1|-1,17)$. Wir wiederholen das Ganze für unsere zweite Extremstelle und setzen x=−2$x=-2$ ein:

f(−2)=13⋅(−2)3+12⋅(−2)2−2⋅(−2)$f(-2)=\frac{1}{3}\cdot (-2{)}^3+\frac{1}{2}\cdot (-2{)}^2-2\cdot (-2)$

f(−2)=13⋅(−8)+12⋅4−(−4)$f(-2)=\frac{1}{3}\cdot (-8)+\frac{1}{2}\cdot 4-(-4)$

f(−2)=−83+42+4$f(-2)=-\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4$

f(−2)=−166+126+246$f(-2)=-\frac{16}{6}+\frac{12}{6}+\frac{24}{6}$

f(−2)=206≈3,33$f(-2)=\frac{20}{6}\approx 3,33$

Unsere zweite Extremstelle, der Hochpunkt, liegt demnach bei H=(−2|3,33)$H=(-2|3,33)$

Super, du hast nun beide Extrempunkte genau definiert!

Normalerweise genügt das oben beschriebene Verfahren, um Extremstellen zu berechnen. Es gibt jedoch noch eine zweite Möglichkeit, die du nutzen kannst, wenn du Extremstellen ohne die Hilfe der zweiten Ableitung berechnen sollst. Erinnere dich: Die zweite Ableitung hilft uns herauszufinden, ob es sich bei der Extremstelle um einen Hoch- oder Tiefpunkt (oder gar einen Sattelpunkt) handelt.

Schau dir zum besseren Verständnis dieser Möglichkeit folgende Grafik an:

Du siehst hier ein lokales Minimum, einen Tiefpunkt, im rechten Teil der Grafik. Du weißt, dass die erste Ableitung in genau diesem Punkt gleich Null ist. Doch ein kleines Stück links davon wird sie nicht gleich Null sein – und rechts davon auch nicht. Es gilt nämlich:

Hast du also einen Punkt gefunden, in dem f′(x)=0$f^{\prime }(x)=0$ ist, dann kannst du einen Punkt links und einen Punkt rechts davon prüfen und so herausfinden, wie die Kurve sich in der Nähe dieses Punktes verhält.

Beispiel:

Du hast herausgefunden, dass für x=5$x=5$ die erste Ableitung gleich Null ist. Du prüfst nun die Punkte x=4$x=4$ und x=6$x=6$ und findest heraus:

f′(4)<0$f^{\prime }(4)<0$

f′(6)>0$f^{\prime }(6)>0$

Die Kurve fällt also links von deinem gefundenen Punkt ab und steigt dann rechts von deinem Punkt wieder an. Das bedeutet: Der Punkt, den du ermittelt hast, muss ein Tiefpunkt sein. 

Umgekehrt könntest du auch dieses Ergebnis erhalten:

f′(4)>0$f^{\prime }(4)>0$

f′(6)<0$f^{\prime }(6)<0$

Das bedeutet: Die Kurve steigt links von deinem Punkt an und fällt auf der anderen Seite wieder ab – du hast daher einen Hochpunkt entdeckt.

Kannst du nun erraten, wie die Kurve sich verhalten müsste, wenn deine Extremstelle x=5$x=5$ ein Sattelpunkt wäre?

Umgekehrt könnte die Kurve natürlich auch zu beiden Seiten deines Punktes abfallen. 

Kennst du alle Schritte der Kurvendiskussion? Oder gibt es noch Berechnungen, bei denen du gern mehr Unterstützung hättest? Schau dir die folgenden Seiten an. Dort findest du ausführliche Erklärungen und zahlreiche Aufgaben, die du zur Übung bearbeiten kannst:

• Kurvendiskussion
• Ableitung
• Ableitungsregeln
• Hoch- und Tiefpunkte
• Monotonie
• Wendepunkt berechnen
• Wendetangente
• Sattelpunkt berechnen
• y-Achsenabschnitt berechnen