Extremwertaufgaben modellieren – online lernen

Sachaufgaben (Modellieren)

Ein wichtiger Anwendungsaspekt der Differentialrechnung ist die Berechnung von Extrema. Maximum- und Minimumprobleme waren schon immer ein zentraler Gegenstand der Mathematik. Die Extremwertproblem, um die es nun gehen soll, haben viele verschiedene Anwendungsbereiche, die in Sachaufgaben vorkommen können. Zum Beispiel als Flächeninhalt von rechteckigen Wiesen oder Pappkartons.

Der unterschied zu innermathematischen Extremwertproblem liegt darin, dass es hier immer um einen Sachzusammenhang geht. Es wird also nicht der maximale Flächeninhalt Fmax$F_{max}$ einfach von einem Rechteck bestimmt, sondern das Rechteck in einem Kontext (siehe Beispiel oben).

Das Vorgehen bei Sachaufgaben ist ähnlich wie das Vorgehen bei innermathematischen Extremwertproblemen.

1. Extremalbedingung angeben:

Benennen aller wichtigen Größen. Eine Gleichung angeben für die Grüße zu der ein Extremum (Maximum, Minimum) bestimmt werden soll. Die Extremalgröße hängt in der Regel von mehreren Parametern ab. Deshalb ist Schritt 2 nötig.

1. Nebenbedingung angeben:

Eine Geichung aufstellen, die angibt, wie die Parameter voneinander abhängen. Wir wollen also wieder beide Parameter wie in 1.) in der Gleichung haben, jedoch stellen wir hier die Gleichung nach einen Parameter um. Dabei ist egal nach welchem wir umformen.

1. Zielfunktion angeben:

Nun werden die Parameter der Extremalbedingung mithilfe der Nebenbedingung (aus 2.) so ersetzt, dass eine Zielfunktion mit nur einem (!) Parameter entsteht.

1. Extremwerte bestimmen:

Nachdem die Zielfunktion aufgestellt ist bestimmen wir nun ihre Extrema. Das heißt wir setzen die erste Ableitung gleich Null und bestimmen je nach Aufgabenstellung den gesuchten Hoch- oder Tiefpunkt.

1. Bezug zur Aufgabe erstellen:

Nachdem wir den gesuchten Wert ermitteln haben, muss noch ein Antwortsatz in Bezug auf den Sachzusammenhang geschrieben werden.

Wir wollen die einzelnen Schritte einmal kurz am folgenden Beispiel erläutern:

Ein Rechteckiges Stück Pappe mit den Seitenlängen 20cm$20cm$ und 32cm$32cm$ wird jeweils an den Ecken parallel zu den Seiten eingeschnitten und anschließend zu einem oben offenen Kasten gefaltet. Wie tief muss man die Seiten einschneiden, damit das Volumen des Kastens möglich groß ist?

1.) Das Volumen des kastens soll maximal sein. Die allgemeine Formel für das Volumen lautet:V=A⋅h$V=A\cdot h$. Das Volumen hängt also von den Variablen A$A$ und h$h$ ab.

2.) Wir können den Flächeninhalt A$A$ in Abhängigkeit von h$h$ besimmten durch:

A=(20−2h)⋅(32−2h)$A=(20-2h)\cdot (32-2h)$

3.) Nun wollen wir die Zielfunktion bestimmen. Dazu setzen wir in unsere Gleichung für A$A$ aus 2.) in die Extremalbedingung aus 1.) ein und erhalten:

V=A⋅h=(20−2h)⋅(32−2h)⋅h=4h3−104h2+640h$V=A\cdot h=(20-2h)\cdot (32-2h)\cdot h=4h^3-104h^2+640h$

Die Punkte 4.) und 5.) wollen wir nun nicht extra noch einmal aufführen, da das Bestimmen des Hochpunktes sowie der Antwortsatz bekannt sein sollten. Zur Überprüfung noch das Ergebnis: V=1152$V=1152$ mit h=4$h=4$ und A=288$A=288$.

Eine weitere mögliche Sachaufgabe könnte so lauten:

Der Querschnitt eines Kanals ist ein rechteck mit angesetztem Halbkreis. Wähle die Maße dieses rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang des Querschnitts sein Inhalt möglichst groß ist.