Potenzregel
Wenn Du wissen willst, was die Potenzregel ist, dann bist Du hier genau richtig. Schau Dir das Video an oder steig direkt in den Text ein.
Wann benötigst du die Potenzregel und wann die Faktorregel?
In diesem Abschnitt stellen wir dir kurz die Potenzregel und die Faktorregel vor, mit der du Funktionen ableiten kannst. Warum zwei Regeln auf einmal? Das liegt daran, dass die Potenzregel und die Faktorregel sehr häufig zusammen gebraucht werden. Damit du nicht den Überblick verlierst, stellen wir dir auf dieser Seite die Potenzregel vor. Eine detaillierte Anleitung zur Faktorregel findest du hier.
Wann benötigst du nun also welche Regel?
Die Potenzregel benötigst du, wenn du Potenzfunktionen ableiten möchtest. Du erkennst sie daran, dass deine Variable x einen Exponenten n hat.
Potenzfunktionen haben die Form
f(x)=xn
Beispiele für Potenzfunktionen:
f(x)=x3
f(x)=x−4
f(x)=x32
Und wie sieht es mit der Faktorregel aus?
Die Faktorregel wendest du an, wenn deine abzuleitende Funktion f(x) eine Teilfunktion g(x) enthält, vor der aber noch ein Vorfaktor steht. Diesen Faktor nennen wir a. Deine Funktion heißt also:
f(x)=a ⋅ g(x)
So könnte deine Funktion mit Vorfaktor zum Beispiel aussehen:
f(x)=5 ⋅ x4
f(x)=3 ⋅ x−5
f(x)=3 ⋅ ex
Übrigens: Wie du in den Beispielen für die Faktorregel schon siehst, kommt die Kombination aus Potenzfunktion und Vorfaktor häufig vor. Die Faktorregel wirst du aber bisweilen auch zusammen mit anderen Ableitungsregeln anwenden, beispielsweise zusammen mit der Summen- oder Differenzregel.
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Potenzregel: Formel und Anleitung
Die Formel für die Potenzregel ist ganz einfach:
f(x)=xn
f′(x)=n⋅xn−1
Du wendest sie in folgenden drei Schritten an:
Schritt 1: Mit dem Exponenten multiplizieren
Ziehe im ersten Schritt den Exponenten n vor deine Variable x. Du multiplizierst also mit ihm:
xn → n ⋅x
Beispiel:
x5 → 5 ⋅x
Diese Schreibweise dient nur dazu, dir den Prozess besser verständlich zu machen. Es ist aber keine korrekte mathematische Schreibweise. Du kannst sie daher auf deinem Schmierzettel nutzen, aber nicht in der Mathearbeit.
Schritt 2: Den Exponenten um 1 reduzieren
Im zweiten Schritt ziehst du von dem Exponenten n die Zahl 1 ab und schreibst den neuen Exponenten über deine Variable x:
xn →n ⋅ xn−1
Beispiel:
x5 →5 ⋅ x5−1 → 5 ⋅ x4
Schritt 3: Ergebnis aufschreiben
Nutze nun die korrekte Schreibweise, um die ursprüngliche und die abgeleitete Funktion aufzuschreiben:
f(x)=x5
f′(x)=5x4
Fertig! Nun festigen wir dein neues Wissen mithilfe einiger Beispiele.
Anwendung der Potenzregel: Beispiele
Die Potenzregel funktioniert immer nach demselben Muster. Damit du nicht durcheinanderkommst, schauen wir uns ein paar Beispiele mit ganz unterschiedlichen Exponenten an.
Beispiel 1: Positiver Exponent
Ein Beispiel für die Ableitung einer Potenzfunktion mit positivem Exponenten hast du eben schon gesehen. Wir halten dieses zusätzliche Beispiel daher kurz:
f(x)=x7
Schritt 1: Mit dem Exponenten multiplizieren
x7 → 7 ⋅ x
Schritt 2: Den Exponenten um 1 reduzieren
x7 → 7 ⋅ x 6
Schritt 3: Ergebnis aufschreiben
f(x)=x7
f′(x)=7x6
Beispiel 2: Negativer Exponent
Eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten kannst du mithilfe der Potenzfunktion nach genau demselben Verfahren ableiten:
f(x)=x−4
Schritt 1: Mit dem Exponenten multiplizieren
x−4 → −4 ⋅x
Schritt 2: Den Exponenten um 1 reduzieren
x−4 → −4 ⋅x −4−1 → −4 ⋅ x−5
Da dein Exponent negativ ist, wird er noch kleiner – er liegt noch weiter unter Null –, wenn du die Zahl 1 abziehst. In diesem Beispiel bedeutet das, dass der Exponent –4 nach dem Subtrahieren zum neuen Exponenten –5 (nicht etwa –3) wird.
Schritt 3: Ergebnis aufschreiben
f(x)=x−4
f′(x)=−4x−5
Beispiel 3: Bruch als Exponent
Auch wenn im Exponent ein Bruch auftaucht, ist das Vorgehen für die Ableitung von Potenzfunktionen exakt dasselbe:
f(x)=x32
Schritt 1: Mit dem Exponenten multiplizieren
x32 → 32 ⋅ x
Schritt 2: Den Exponenten um 1 reduzieren
x32 → 32 ⋅ x32−1 → x32 → 32 ⋅ x 12
Schritt 3: Ergebnis aufschreiben
f(x)=x32
f′(x)=32 ⋅ x12
Überblick über alle Ableitungsregeln
Beim Ableiten mit der Potenzregel wirst du häufig auf Funktionen stoßen, die etwas komplexer sind und für deren Lösung du mehrere Ableitungsregeln hintereinander nutzen musst. Sitzen diese schon perfekt? Wenn nicht, kannst du deine Fertigkeiten online trainieren – wir halten zahlreiche kostenlose Aufgaben zum Üben für dich bereit! Außerdem kannst du hier alle Ableitungsregeln noch einmal nachlesen:
Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion: f(x)=x5