Faktorregel
Wenn Du wissen willst, was die Faktorregel ist, dann bist Du hier genau richtig. Schau Dir das Video an oder steig direkt in den Text ein.
Wann benötigst du die Faktorregel und wann die Potenzregel?
In diesem Abschnitt stellen wir dir die Faktorregel und kurz die Potenzregel vor, mit der du Funktionen ableiten kannst. Warum zwei Regeln auf einmal? Das liegt daran, dass die Faktorregel und die Potenzregel sehr häufig zusammen gebraucht werden. Damit du nicht den Überblick verlierst, stellen wir dir auf dieser Seite die Faktorregel vor. Diese wird genutzt, wenn in deiner abzuleitenden Funktion noch ein Vorfaktor auftaucht. Eine detaillierte Anleitung zur Potenzregel findest du hier.
Wann benötigst du nun also welche Regel?
Die Faktorregel wendest du an, wenn deine abzuleitende Funktion \(f(x)\) eine Teilfunktion \(g(x)\) enthält, vor der aber noch ein Vorfaktor steht. Diesen Faktor nennen wir \(a\). Deine Funktion heißt also:
\( f(x)=\)\(a\) \(\cdot \) \(g(x) \)
So könnte deine Funktion mit Vorfaktor zum Beispiel aussehen:
\( f(x)=\)\(5\) \(\cdot\) \( x^4 \)
\( f(x)=\)\(3\) \(\cdot\) \( x^{-5} \)
\( f(x)=\)\(3\) \(\cdot\) \( e^x \)
Übrigens: Wie du in den Beispielen für die Faktorregel schon siehst, kommt die Kombination aus Potenzfunktion und Vorfaktor häufig vor. Die Faktorregel wirst du aber bisweilen auch zusammen mit anderen Ableitungsregeln anwenden, beispielsweise zusammen mit der Summen- oder Differenzregel.
Die Potenzregel benötigst du, wenn du Potenzfunktionen ableiten möchtest. Du erkennst sie daran, dass deine Variable \(x\) einen Exponenten \(n\) hat.
Potenzfunktionen haben die Form
\( f(x)=x\)\(^n\)
Beispiele für Potenzfunktionen:
\( f(x)=x\)\(^3\)
\( f(x)=x\)\(^{-4} \)
\( f(x)={x}\)\(^{ \frac{3}{2} } \)
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Faktorregel: Formel und Anleitung
Wie du bereits weißt, musst du für Ableitungen die Faktorregel nutzen, wenn du eine Funktion ableiten sollst, die aus einer Funktion mit einem Vorfaktor \(a\) besteht. Man schreibt:
\( f(x)=\)\(a\) \(\cdot\) \(g(x) \)
Beispiel:
\( f(x)=\)\(5\) \(\cdot\) \( x^3 \)
Die Faktorregel besagt, dass der Vorfaktor einer Funktion auch bei der Ableitung erhalten bleibt. Es gilt also:
\( f(x)=\)\(a\) \(\cdot\) \( g(x) \)
\( f'(x)=\)\(a\) \(\cdot\) \( g'(x) \)
Beispiel:
\( f(x)=\)\(5\) \(\cdot\) \( x^3 \)
\( f'(x)=\)\(5\) \(\cdot\) \( 3x^2 \)
Die Funktion \( x^3 \) leitest du nach der Potenzregel ab, die dir ja jetzt bekannt ist. Falls du nochmal tiefer in die Herleitung einsteigen möchtest, kannst du das im Artikel über die Potenzregel tun. Der Vorfaktor \(5\) bleibt nach der Faktorregel unverändert erhalten.
Auf eine Funktion wie \(f(x) = 5\) wendest du die Faktorregel nicht an, denn hier handelt es sich bei der Zahl \(5\) nicht um einen Faktor (es gibt ja keinen zweiten Faktor und somit kein Produkt), sondern um eine sogenannte Konstante.
Die Ableitung einer Konstanten ist immer \(0\). Das bedeutet:
\(f(x)=5\)
\(f'(x)=0\)
Anwendung der Faktorregel: Beispiele
Du siehst bereits, dass die Faktorregel naturgemäß in Verbindung mit anderen Ableitungsregeln auftreten muss – schließlich muss es ja einen Teil geben, den du überhaupt mit dem Vorfaktor multiplizieren kannst. Lass uns auch hier ein paar Beispiele dazu anschauen, wie die Faktorregel in Kombination mit unterschiedlichen Funktionen angewendet wird.
Beispiel 1: Negativer Vorfaktor
\( f(x)=\)\(-3\) \(\cdot\) \( x^4 \)
Wir nutzen die Potenz- und die Faktorregel, um abzuleiten:
\( f'(x)=\)\(-3\) \(\cdot\) \( 4x^3=-12x^3 \)
Beispiel 2: Vorfaktor mit e-Funktion
\( f(x)=\)\(3\)\(e^x \)
Hier hast du den Vorfaktor 3, der in der Ableitung laut Faktorregel erhalten bleibt, und die Funktion \( e^x \). Kennst du die Ableitung der e-Funktion? Sie ist ganz einfach, denn sie gleicht exakt der ursprünglichen Funktion:
\( f(x)=e^x \)
\( f'(x)=e^x \)
Somit kannst du nun ganz leicht ableiten – der Vorfaktor bleibt erhalten:
\( f(x)=\)\(3\)\(e^x \)
\( f'(x)=\)\(3\)\(e^x \)
Wenn im Exponenten von \(e\) nicht einfach nur \(x\), sondern eine kompliziertere Funktion steht, brauchst du die Kettenregel, um die e-Funktion korrekt abzuleiten.
Überblick über alle Ableitungsregeln
Beim Ableiten mit der Faktorregel wirst du häufig auf Funktionen stoßen, die etwas komplexer sind und für deren Lösung du mehrere Ableitungsregeln hintereinander nutzen musst. Sitzen diese schon perfekt? Wenn nicht, kannst du deine Fertigkeiten online trainieren – wir halten zahlreiche kostenlose Aufgaben zum Üben für dich bereit! Außerdem kannst du hier alle Ableitungsregeln noch einmal nachlesen:
Bestimme die Ableitung der folgenden Funktion: f(x)=0,2⋅g(x)