Mathematik – Wurzelgesetze

Die Wurzelgesetze helfen dir, mit Wurzeln zu rechnen. Oft kannst du damit auch Aufgaben in Mathe vereinfachen. Wir zeigen dir die wichtigsten Wurzelgesetze, erklären sie dir Schritt für Schritt mit Beispielen und stellen sicher, dass du alle Fachbegriffe verstehst.

Das Wurzelzeichen sieht so aus: √  . Ein anderes Wort für „Wurzel ziehen“ ist „radizieren“. Bevor wir dir die Wurzelgesetze und Beispiele dazu zeigen, müssen wir noch ein paar Grundlagen der Mathematik zum Rechnen mit Wurzeln wiederholen. 

Eine Wurzelfunktion – genannt f(x) – sieht allgemein so aus:

f(x)=a⋅n√x

Du kannst jetzt für die verschiedenen Buchstaben unterschiedliche Zahlen einsetzen:

• x ist die Variable unter der Wurzel. Sie heißt Radikand. Als Radikanden dürfen wir alle positiven reellen Zahlen und die Null einsetzen (R+0). Aus negativen Zahlen dürfen wir nämlich keine Wurzel ziehen. 
  
• n ist der Wurzelexponent. Er gibt an, die wievielte Wurzel wir ziehen sollen. Bei 3√x ziehen wir zum Beispiel die dritte Wurzel. Für den Exponenten dürfen wir alle natürlichen Zahlen einsetzen (N).
  Achtung: Wenn kein Exponent an der Wurzel steht, ist das die zweite Wurzel. Man sagt auch Quadratwurzel. Du könntest also schreiben: 2√x, aber in der Praxis schreibt man einfach: √x. Die dritte Wurzel (3√x) heißt Kubikwurzel. Wurzeln mit höheren Wurzelexponenten haben keine besonderen Namen mehr. 
• a ist ein Faktor, mit dem du deine Wurzel multiplizieren sollst. Wir nennen ihn Koeffizient. Hier darfst du alle reellen Zahlen einsetzen. 

Zuletzt solltest du noch wissen, dass du eine Wurzelfunktion auch als Potenzfunktion schreiben kannst. So kannst du Wurzeln umschreiben: 

n√x=x1n

Beispiel:
4√x=x1n

Denk daran, dass du bei einer Quadratwurzel normalerweise keinen ausgeschriebenen Wurzelexponenten hast, die 2 aber trotzdem angenommen wird. Daher gilt:

√x=x12

Jetzt bist du gut vorbereitet! Schauen wir uns die Wurzelgesetze nacheinander an:

• Wurzelgesetze für Addition und Subtraktion
  
• Wurzelgesetze für Produkte und Quotienten
  
• Wurzelgesetze für Potenzen
  
• Wurzeln aus Wurzeln ziehen
  
• weitere Rechenregeln

Für diese Wurzelgesetze gelten zwei wichtige Voraussetzungen:

Die Wurzelexponenten der einzelnen Terme müssen gleich sein.
Die Radikanden müssen gleich sein.
Ist das nicht der Fall, darfst du diese Wurzelgesetze zum Addieren und Subtrahieren nicht anwenden.

Wurzelgesetz für Addition

So sieht das Wurzelgesetz für die Addition aus:

a⋅n√x+b⋅n√x=(a+b)⋅n√x

Beispiel:

5⋅n√8+3⋅4√8=(5+3)⋅4√8=84√8

Hier siehst du: Wir ziehen in beiden Termen die vierte Wurzel und der Radikand (die Zahl unter der Wurzel) ist beide Male die 8. Daher dürfen wir die beiden Koeffizienten 5 und 3 einfach addieren. Du hast also fünfmal die gleiche Wurzel plus dreimal die gleiche Wurzel – insgesamt achtmal. 

Aufgepasst: Wenn vor einer Wurzel kein Koeffizient steht, steht dort eigentlich eine 1 – du hast also eine Wurzel und musst diese daher auch dazurechnen.

Wurzelgesetz für Subtraktion

Das Subtrahieren funktioniert ganz genauso:

a⋅n√x−b⋅n√x=(a−b)⋅n√x

Beispiel: 

10⋅n√x−b⋅n√x?(a−b)⋅n√x

Für die Wurzelgesetze bei der Multiplikation und Division gibt es ebenfalls eine wichtige Voraussetzung:

• Die Wurzelexponenten der Faktoren müssen gleich sein. 
  
• Der Radikand darf sich diesmal aber unterscheiden.

Wurzelgesetz für Multiplikation

So sieht das Wurzelgesetz für die Multiplikation aus:

n√x⋅n√y=n√x⋅y

Beispiel: 

3√15⋅3√15⋅7=3√105

Beim Multiplizieren von Wurzeln kann dir diese Rechenregel einen echten Rechenvorteil verschaffen. Schau dir zum Beispiel diese Aufgabe an:

√3⋅√12

Im Kopf kannst du das nicht einfach so lösen, stimmt’s? Aber schau, was passiert, wenn wir das Wurzelgesetz zum Multiplizieren anwenden:

√3⋅√12=√3⋅12=√36=6

Praktisch, oder?

Wurzelgesetz für Division

Wenn du Wurzeln teilen möchtest, funktioniert das fast genauso. Es gilt:

n√xn√y=n√xy

Beispiel: 

5√255√5=5√255=5√5

Du kannst auch eine ganze Wurzel potenzieren. Damit es nicht verwirrend wird, was genau potenziert wird, setzen wir dazu um die gesamte Wurzel eine Klammer und erst dann den Exponenten an die Klammer:

(4√15)3

Und wie rechnen wir nun damit? Das ist zum Glück ganz einfach, denn du darfst den Exponenten einfach unter die Wurzel ziehen:

(n√x)m=n√xm

Beispiel:

(3√25)2=3√252=3√625

Genau wie du Wurzeln mit Potenzen berechnen kannst, kannst du auch aus Wurzeln die Wurzel ziehen. Und das geht so:

m√n√x=m⋅n√x

In Worten: Du kannst die Wurzelexponenten der inneren und der äußeren Wurzel miteinander malnehmen. 

Beispiel:

3√4√1.028=3⋅4√1.028=12√1.028

So hast du die Wurzel stark vereinfacht und kannst viel besser damit weiterrechnen.

Die folgenden Verfahren helfen dir, Aufgaben mit Wurzeln leichter zu berechnen:

• Wurzeln als Potenz schreiben
  
• Wurzeln zerlegen
  
• Wurzeln als Potenzen schreiben
  

Oben hast du schon gelernt, dass wir jede Wurzel auch als Potenz schreiben können:

n√x=x1n

Beispiel:

3√x=x13

Aber was, wenn unter der Wurzel auch eine Potenz steht? Kein Problem mit diesem Wurzelgesetz für Potenzen:

n√xm=xmn

Beispiel:

3√85=853

Wir können nun statt der Wurzelgesetze die Potenzgesetze anwenden. Das fällt vielen Schüler:innen leichter. 

Wurzeln zerlegen

Du kannst Wurzeln teilweise zerlegen, um leichter damit zu rechnen. Dazu zerlegst du den Radikanden in mehrere Faktoren, aus denen du zumindest teilweise die Wurzel ziehen kannst.

Beispiel:

√48=√3⋅16=√3⋅√16

√16 können wir jetzt ausrechnen und so erhalten wir:

√48=√3⋅√16=√3⋅4

Hier findest du noch einmal alle Wurzelgesetze und Formeln in der Übersicht:

Addition

Wurzelgesetz: a⋅n√x+b⋅n√x=(a+b)⋅n√x

Beispiel: 5⋅4√8+3⋅4√8=(5+3)⋅4√8=84√8

Voraussetzungen: Wurzelexponent gleich, Radikanden gleich

Subtraktion

Wurzelgesetz: a⋅n√x−b⋅n√x=(a−b)⋅n√x

Beispiel: 10⋅4√8−6⋅4√8=(10−6)⋅4√8=44√8

Voraussetzungen: Wurzelexponenten gleich, Radikanden gleich

Multiplikation

Wurzelgesetz: n√x⋅n√y=n√x⋅y

Beispiel: √3⋅√12=√3⋅12=√26=6

Voraussetzungen: Wurzelexponenten gleich, x⋅y≥0

Division

Wurzelgesetz: n√xn√y=n√xy

Beispiel: 4√324√2=4√322=4√16=2

Voraussetzungen: Wurzelexponenten gleich, xy≠0

Wurzeln potenzieren

Wurzelgesetz: (n√x)m=n√xm

Beispiel: (3√25)2=3√252

Voraussetzungen: keine

Wurzeln aus Wurzeln ziehen

Wurzelgesetz: m√n√x=m⋅[n√x

Beispiel: 3√4√1.028=3⋅4√1.028=12√1.028

Voraussetzungen: keine