Potenzen mit rationalen Exponenten – online lernen

Potenzfunktionen mit positiven geraden Exponenten

Potenzfunktionen mit positiven und geraden Exponenten (Funktionen der Form f(x)=xn$f\left(x\right)=x^n$, wobei n=2,4,6,...$n=2,4,6,...$) sind grundsätzlich achsensymmetrisch zur y-Achse.

Durch den geraden Exponenten n werden die Funktionswerte immer positiv. Die Graphen verlaufen immer oberhalb der x-Achse, der Wertebereich wird niemals negativ. Ein solcher Graph ist stets eine nach oben geöffnete Parabel.

Im Falle eines negativen Vorzeichens (f(x)=−xn$f\left(x\right)={-x}^n$, wobei n$n$ wie oben) ist der Graph an der x-Achse gespiegelt, wird also niemals positiv. Solche Graphen sind stets nach unten geöffnete Parabeln (siehe Abbildung).

Solche Funktionen sind für alle reelle Zahlen definiert, für x$x$ darf also jede beliebige Zahl eingesetzt werden.

Allen Funktionen von diesem Typ sind einige besondere Punkte gemein.

1. Der Scheitelpunkt liegt immer bei x=0$x=0$ und hat stets den Funktionswert 0$0$, es gilt also für den Scheitelpunkt S(0/0).
2. Bei positivem Vorzeichen: Für x=1$x=1$ und x=−1$x=-1$ gilt stets f(x)=1$f(x)=1$. Die Punkte (1/1) und (-1/1) liegen also immer auf dem Graphen.
3. Bei negativem Vorzeichen: Für x=1$x=1$ und x=−1$x=-1$ gilt stets f(x)=−1$f(x)=-1$. Die Punkte (1/-1) und (-1/-1) liegen also immer auf dem Graphen.

Links: f(x)=x2$f(x)=x^2$ (rot), f(x)=x4$f(x)=x^4$ (grün), f(x)=x6$f(x)=x^6$ (blau);
Rechts: f(x)=x−2$f(x)=x^{-2}$ (rot), f(x)=x−4$f(x)=x^{-4}$ (grün), f(x)=x−6$f(x)=x^{-6}$ (blau).

Potenzen

Rationale Exponenten

Um Potenzen mit rationalem Exponenten geschickt zu berechnen, bzw. zu vereinfachen, kann man eine elementare Eigenschaft von rationalen Zahlen benutzen: Jede rationale Zahl ist als Bruch darstellbar:

xq=xmn$x^q=x^{\frac{m}{n}}$, wobei x∈R$x\in \mathbb{R}$, q∈Q$q\in \mathbb{Q}$, m∈Z$m\in \mathbb{Z}$, n∈N$n\in \mathbb{N}$

Liegt also ein rationaler Exponent vor bietet es sich an, diesen zunächst als Bruch zu schreiben. Anschließend rechnet man entsprechend der Potenzgesetze und Bruchrechnung.

Beispiele:

a) 21,5⋅16=232⋅24=232+4=2112=25,5$2^{1,5}\cdot 16=2^{\frac{3}{2}}\cdot 2^4=2^{\frac{3}{2}+4}=2^{\frac{11}{2}}=2^{5,5}$ 

b) (30,3¯¯¯¯¯¯¯${(3}^{\overline{0,3}}$)⁶ +3=313⋅6+3=32+3=12$+3=3^{\frac{1}{3}\cdot 6}+3=3^2+3=12$

Alternativ kann man auch mittels Wurzelschreibweise rationale Exponenten wie folgt darstellen: xmn=xm−−−√n=(x−−√n)$x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})$^m

Beispiele:

21,5⋅16=232⋅24=23−−√⋅28−−√=211−−−√=2112=25,5$2^{1,5}\cdot 16=2^{\frac{3}{2}}\cdot 2^4=\sqrt{2^3}\cdot \sqrt{2^8}=\sqrt{2^{11}}=2^{\frac{11}{2}}=2^{5,5}$

Potenzen mit negativer Hochzahl

Potenzen mit negativen Hochzahlen lassen sich auch immer als Potenzen mit positiven Hochzahlen schreiben.

Es gilt

a−n=1an$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ , a≠0$a\ne 0$

Beispiel:  10−3=1103${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}$

Sobald eine Potenz mit negativer Hochzahl vom Zähler in den Nenner gebracht wird, wird sie positiv.

Beispiel:  3−2=132$3^{-2}=\frac{1}{3^2}$

Wenn eine Potenz mit negativer Hochzahl vom Nenner in den Zähler gebracht wird, wird sie ebenfalls positiv.

Beispiel:  15−9=59$\frac{1}{5^{-9}}=5^9$

Für Potenzen mit negativen Hochzahlen gelten die gleichen Rechenregeln wie für Potenzen mit positiven Hochzahlen.

Beispielaufgabe:

Schreibe um und berechne: 

1. 5−3$5^{-3}$
2. 110−4$\frac{1}{{10}^{-4}}$

Lösung:
1. 153=1125$\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}$;   2. 104=10.000${10}^4=10.000$