Potenzfunktionen – online lernen

Potenzfunktionen mit negativen geraden Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen und geraden Exponenten (Funktionen der Form f(x) = x⁻ⁿ, wobei n = 2,4,6, ...) sind grundsätzlich achsensymmetrisch zur y–Achse.

Solche Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert außer für die 0. Denn es gilt: x−n=1xn$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

und die Division durch 0 ist nicht erlaubt. Die 0 ist eine sogenannte Definitionslücke, daher ist der Graph aufgeteilt in zwei sogenannte Hyperbeläste.

Durch den geraden Exponenten entstehen nur positive Funktionswerte. Die Graphen verlaufen also nur oberhalb der x–Achse. Der eine Hyperbelast verläuft im ersten (I) Quadranten, der andere Hyperbelast im zweiten (II) Quadranten (siehe Abbildung).

Im Falle eines negativen Vorzeichens (f(x) = −x⁻ⁿ, nwie oben), ist der Graph an der x–Achse gespiegelt. Die Hyperbeläste liegen dann im dritten (III) und vierten (IV) Quadranten.

Beispiele: Alle Schaubilder haben zwei gemeinsame Punkte.

1. Bei positivem Vorzeichen: (1 | 1) und (−1 | 1)

2. Bei negativem Vorzeichen: (1 | −1) und (−1 | −1)

Potenzfunktionen mit negativen ungeraden Exponenten

Potenzfunktionen mit negativen und ungeraden Exponenten (Funktionen der Form f(x) = x⁻ⁿ, wobei n = 1,3,5, ...) sind grundsätzlich punktsymmetrisch zum Ursprung (0 | 0).

Solche Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert außer für die 0. Denn es gilt: und die Division durch 0 ist nicht erlaubt. Die 0 ist eine sogenannte Definitionslücke, daher ist der Graph aufgeteilt in zwei sogenannte Hyperbeläste.

Durch den ungeraden Exponenten entstehen sowohl positive, als auch negative Funktionswerte. Die Graphen verlaufen also sowohl ober– als auch unterhalb der x–Achse. Der eine Hyperbelast verläuft im ersten (I) Quadranten, der andere Hyperbelast im dritten (III) Quadranten (siehe Abbildung).

Im Falle eines negativen Vorzeichens (f(x) = −x⁻ⁿ, n wie oben), ist der Graph an der x–Achse gespiegelt. Die Hyperbeläste liegen dann im zweiten (II) und vierten (IV) Quadranten.

Beispiele: Alle Schaubilder haben zwei gemeinsame Punkte.

1. Bei positivem Vorzeichen: (1 | 1) und (−1 | −1)

2. Bei negativem Vorzeichen: (1 | −1) und (−1 | 1)

Die Potenzfunktionen mit ungeraden Hochzahlen

Es gibt zwei Arten von Potenzfunktionen. Die Potenzfunktionen mit ungeraden Hochzahlen haben andere Eigenschaften wie diejenigen mit geraden Hochzahlen. 

Mit ungeraden Hochzahlen 

Alle Potenzfunktionen mit einer ungeraden Hochzahl (z.B.

Diese Funktionen verlaufen für

Skizze:

Die Potenzfunktionen mit geraden Hochzahlen

Es gibt zwei Arten von Potenzfunktionen. Die Potenzfunktionen mit geraden Hochzahlen haben andere Eigenschaften wie diejenigen mit ungeraden Hochzahlen. 

Mit geraden Hochzahlen 

Alle Potenzfunktionen mit einer geraden Hochzahl (z.B.

Diese Funktionen verlaufen nur im positiven

Für den Bereich

Skizze: