Potenzgesetze – online lernen

Das dritte Potenzgesetz

Die Potenzgesetze regeln allgemein, wie Potenzen miteinander berechnet werden.

Das dritte Gesetz besagt:

Wenn eine Potenz potenziert wird, werden die beiden Exponenten miteinander multipliziert.

Allgemein lautet dieses Gesetz:

(ab)c=ab⋅c${\left(a^b\right)}^c=a^{b\cdot c}$

Beispiele:

• (x5)4=x5⋅4=x20${\left(x^5\right)}^4=x^{5\cdot 4}=x^{20}$

• (23)2=23⋅2=26=64${\left(2^3\right)}^2=2^{3\cdot 2}=2^6=64$

  
  

Potenzen mit gleichem Exponent

Potenzen mit gleicher Hochzahl (Exponent) können bei der Multiplikation und Division zusammengefasst werden.

Es gilt bei der Multiplikation

ax⋅bx=(a⋅b)x$a^x\cdot b^x={(a\cdot b)}^x$

und bei der Division

ax:bx=(a:b)x=(ab)x$a^x:b^x={(a:b)}^x={\left(\frac{a}{b}\right)}^x$

Beispiel:

• 33⋅43=(3⋅4)3$3^3\cdot 4^3={(3\cdot 4)}^3$ =123=1728$={12}^3=1728$

• 152:32=(15:3)2=52=25${15}^2:3^2={(15:3)}^2=5^2=25$

  
  

Das erste Potenzgesetz

Die Potenzgesetze regeln allgemein, wie Potenzen miteinander verrechnet werden.

Das erste Gesetz besagt:

Wenn Potenzen mit gleicher Basis (Grundzahl) miteinander multipliziert werden, werden die Exponenten (Hochzahlen) addiert.

Allgemein lautet das Gesetz

ab⋅ac=ab+c$a^b\cdot a^c=a^{b+c}$

Beispiele:

• x4⋅x7=x4+7$x^4\cdot x^7=x^{4+7}$ =$=$ x11$x^{11}$
• 23⋅29=212$2^3\cdot 2^9=2^{12}$ =4096$=4096$
  

Das zweite Potenzgesetz

Die Potenzgesetze regeln allgemein, wie Potenzen miteinander verrechnet werden.

Das zweite Gesetz besagt:

Wenn eine Potenz durch eine Potenz mit gleicher Basis (Grundzahl) dividiert wird, werden die Exponenten (Hochzahlen) subtrahiert.

Allgemein lautet das Gesetz

Beispiele:

• 47:44=47−4=43=64$4^7:4^4=4^{7-4}=4^3=64$

• x8x7=x8−7=x1=x$$\frac{x^8}{x^7}=x^{8-7}=x^1=x$$