Definitionsmenge

Die Definitionsmenge ist eine sehr wichtige Angabe, wenn du eine Funktion genau definieren sollst. Natürlich bist du bereits mit Funktionsgleichungen wie zum Beispiel f(x)=x2+2x–1$f(x)=x^2+2x–1$ vertraut. Für eine exakte Bestimmung brauchen wir jedoch noch zwei weitere Angaben, und zwar die Definitionsmenge und den Wertebereich der Funktion. Die Definitionsmenge beschreibt dabei, welche Werte du für x$x$ in deine Funktion einsetzen kannst, sodass die Funktion lösbar ist.

Die Definitionsmenge anzugeben, ist ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion. Natürlich wäre es sehr umständlich, wenn du für jede Funktion alle möglichen Werte einzeln ausprobieren müsstest. Das ist aber auch gar nicht nötig, denn je nach Funktion ist die Definitionsmenge oft schon genau festgelegt. Das schauen wir uns gleich im Detail für die verschiedenen Arten von Funktionen an. Doch zuerst werfen wir noch einen Blick auf die korrekte Schreibweise für die Definitionsmenge.

Die Definitionsmenge bzw. den Definitionsbereich kennzeichnen wir mit einem D$\mathbb{D}$. Außerdem müssen wir die Zahlenmenge angeben und eventuell auch Zahlen ausschließen, die nicht in die Gleichung der Funktion eingesetzt werden dürfen. Wir können zum Beispiel schreiben:

D=R$\mathbb{D}=\mathbb{R}$  \   {0}$\left\{0\right\}$

Was bedeutet das? Gesprochen lautet diese Definitionsmenge: „Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen außer Null.” Es stehen also

• R$\mathbb{R}$ für die Menge der reellen Zahlen,
• \ für „außer“ und
• die Zahlen in {geschweiften Klammern} für alle Zahlen, die wir ausschließen wollen.

Eine andere mögliche Schreibweise wäre:

D={xϵR|x≠0}$\mathbb{D}=\left\{xϵR|x\ne 0\right\}$

Das sprichst du so: „Die Definitionsmenge lautet: x$x$ ist ein Element der reellen Zahlen. x$x$ ist ungleich Null.“

Schauen wir uns jetzt an, was wir über die Definitionsmengen unterschiedlicher Funktionen wissen.

Für manche Funktionsarten ist klar festgelegt, welche Menge an Zahlen du einsetzen darfst. Diese musst du einfach nur auswendig lernen. Bei anderen Funktionen musst du hingegen genauer nachdenken oder erst andere wichtige Werte berechnen. Aber keine Sorge, wir erklären dir das Schritt für Schritt!

Die Definitionsmenge ganzrationaler Funktionen

Zu den ganzrationalen Funktionen gehören zum Beispiel lineare Funktionen, quadratische Funktionen und Funktionen höheren Grades. Lass uns zum besseren Verständnis ein paar Beispiele ansehen:

• lineare Funktionen: Eine lineare Funktion ist zum Beispiel f(x)=2x$f(x)=2x$. Die Variable x$x$ hat hier den Exponenten 1$1$. Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
• quadratische Funktionen: Eine quadratische Funktion enthält die Variable x$x$ mit dem Exponenten 2$2$, zum Beispiel f(x)=2x2–3x$f(x)=2x^2–3x$. Ihr Funktionsgraph ist eine Parabel.
• Funktionen höheren Grades: Funktionen können auch höhere Exponenten als 2$2$ aufweisen – wie die Funktion f(x)=3x3$f(x)=3x^3$ oder f(x)=2x4–5x+3$f(x)=2x^4–5x+3$.

Die gute Nachricht: Welche ganzrationale Funktion du auch immer vor dir hast, es ist sehr einfach, die Definitionsmenge festzulegen. Für alle ganzrationalen Funktionen gilt nämlich dieselbe Regel:

 D=R$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Am Funktionsgraphen einer linearen Funktion kannst du besonders gut erkennen, dass alle x-Werte möglich sind.

Wie gesagt gilt die Regel aber für alle ganzrationalen Funktionen. Das merkst du dir am besten einfach!

Definitionsbereich von gebrochenrationalen Funktionen

Bei gebrochenrationalen Funktionen ist es mit der Definitionsmenge etwas komplizierter. Zwar gilt auch hier grundsätzlich, dass alle reellen Zahlen eingesetzt werden dürfen. Eine gebrochenrationale Funktion zeichnet sich aber dadurch aus, dass sie als Bruch dargestellt wird, der im Nenner ein x$x$ hat. Wie du weißt, dürfen wir nicht durch Null teilen. Wir müssen daher verhindert, dass der Nenner unserer Funktion gleich Null werden kann. Wie machen wir das? Indem wir die Nullstellen des Nenners berechnen und diese dann aus unserer Definitionsmenge ausschließen.

Schauen wir uns auch dazu ein Beispiel an.

Anhand der Grafik kannst du schon erahnen, dass wir hier Definitionslücken bei x=–1$x=–1$ und x=1$x=1$ haben. Natürlich wollen wir das aber auch mathematisch zeigen, denn vielleicht hast du nicht immer den Funktionsgraphen zur Verfügung. Wir berechnen die Definitionslücken, indem wir den Nenner der Gleichung gleich Null setzen und die Nullstellen bestimmen:

x2–1=0|+1$x^2–1=0|+1$

x2=1|√$x^2=1|\surd$

x1=1$x_1=1$

x2=−1$x_2=-1$

Nun können wir unsere Definitionsmenge aufschreiben:

D=R$\mathbb{D}=\mathbb{R}$  {−1;1}$\left\{-1;1\right\}$

Definitionsmenge bei Wurzelfunktionen

Bei Wurzelfunktionen musst du vor allem eine wichtige Regel beachten: Aus negativen Zahlen dürfen wir nicht die Wurzel ziehen. Die Null ist allerdings erlaubt. Das heißt, wenn du nur eine reine Wurzelfunktion hast, gilt: D=R+0$\mathbb{D}={\mathbb{R}}_{\mathbb{0}}^{\mathbb{+}}$

Doch was, wenn unter der Wurzel mehr steht als nur ein x$x$? Nehmen wir als Beispiel diese Funktion:

f(x)=x3−64−−−−−−√$f(x)=\sqrt{x^3-64}$

Um herauszufinden, welche Werte wir für x$x$ nicht einsetzen dürfen, müssen wir die Nullstellen des Ausdrucks unter der Wurzel berechnen:

x3–64=0|+64$x^3–64=0|+64$

x3=64$x^3=64$

x=4$x=4$

Wenn du für x=4$x=4$ einsetzt, erhältst du als Ergebnis des Wurzelausdrucks die Zahl 0$0$ – das ist erlaubt. Sobald dein x-Wert aber kleiner als 4$4$ wird, ist das Ergebnis unter der Wurzel negativ. Das musst du ausschließen und legst daher folgenden Definitionsbereich fest:

D=x∈R:x≥4$\mathbb{D}=x\in \mathbb{R}:x\ge 4$

Definitionsmenge der e-Funktion und der ln-Funktion

Auch wenn das Rechnen mit der e-Funktion und der Logarithmusfunktion nicht immer so leichtfällt – in Sachen Definitionsmenge verhalten sich die beiden sehr angenehm. Du musst dir einfach nur merken:

Für die e-Funktion gilt:  D=R$\mathbb{D}=\mathbb{R}$
Für die ln-Funktion gilt:  D=R+$\mathbb{D}={\mathbb{R}}^{\mathbb{+}}$

Hier kannst du das anhand der Funktionsgraphen noch einmal nachvollziehen:

Definitionsmenge trigonometrischer Funktionen

Für die Sinus- und die Cosinus-Funktion kannst du dir die Definitionsmenge sehr leicht merken, denn sie lautet: D=R$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Die Tangensfunktion hat hingegen Definitionslücken, und zwar immer im Abstand von π$\pi$. Deshalb müssen wir diese aus der Definitionsmenge ausschließen:

D=R∖…,–3π2,–π2,π2,3π2,…$\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \dots ,–\frac{3\pi }{2},–\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\dots$