Definitionsbereich

Wenn du eine Funktion definierst, dann gibt es bisweilen Einschränkungen dafür, für welche Werte diese Funktion gelöst werden kann. Anders ausgedrückt: Manchmal musst du einzelne Werte ausschließen. Diese darfst du für x nicht einsetzen, da sonst deine Funktion nicht lösbar wäre. Der Definitionsbereich umfasst alle Zahlen, die du für x einsetzen kannst.

Außerdem ist der Definitionsbereich eine sehr wichtige Angabe, wenn du Funktionen genau beschreiben möchtest. Dazu brauchst du nämlich stets drei Dinge:

1. die Funktionsgleichung
2. den Definitionsbereich (aller erlaubten x-Werte)
3. den Wertebereich (aller erlaubten y-Werte)

Vielleicht fragst du dich, wie du den Definitionsbereich bestimmen sollst, ohne jeden Wert einzeln zu überprüfen – das wäre natürlich ausgesprochen kompliziert! Zum Glück gibt es einige einfache Regeln, die dir helfen, den Definitionsbereich (der übrigens auch Definitionsmenge genannt wird) festzulegen. Schauen wir uns das genauer an. 

Hast du die Zahlenmengen noch im Kopf? Hier bekommst du noch einmal einen kurzen Überblick, denn sie sind für das Bestimmten der Definitionsmenge sehr wichtig: 

• N – die natürlichen Zahlen. Zu den natürlichen Zahlen gehören alle positiven ganzen Zahlen, also die Zahlen, mit denen wir üblicherweise zählen: 1,2,3,… Die Zahl 0 kann, muss aber nicht Teil der natürlichen Zahlen sein.
• Z – die ganzen Zahlen. Die Zahlenmenge der ganzen Zahlen umfasst alle natürlichen Zahlen und die dazugehörigen negativen Zahlen: –2,–1,0,1,2,…
• Q – die rationalen Zahlen. Wenn du eine Zahl als Bruch mit zwei ganzen Zahlen darstellen kannst, dann handelt es sich dabei um eine rationale Zahl. Beispiel: 34 oder auch 1,25.
• R – die reellen Zahlen. Zu den reellen Zahlen gehören alle bisher genannten Zahlenmengen plus die irrationalen Zahlen. Zu Letzteren gehören zum Beispiel π, √2 und e. 

Wieder fit, was die Zahlenmengen betrifft? Dann lass uns jetzt schauen, wie du den Definitionsbereich für deine Funktionswerte bestimmen kannst.

Den kompletten Definitionsbereich kannst du nicht jedes Mal für eine Funktion berechnen – dazu müsstest du ja jeden nur möglichen Wert in die Funktion einsetzen, um zu überprüfen, ob du ein sinnvolles Ergebnis erhältst. Viel einfacher ist es, wenn du dir einfach für die unterschiedlichen Funktionen merkst, welcher Definitionsbereich vorgegeben ist.

Definitionsbereich bei ganzrationalen Funktionen

Zu den ganzrationalen Funktionen gehören lineare Funktionen wie f(x)=3x+2, quadratische Funktionen wie f(x)=3x2–2x oder auch Funktionen höheren Grades, zum Beispiel f(x)=2x5. Für diese Funktionen gilt, dass der Definitionsbereich alle reellen Zahlen umfasst.

Wir schreiben:  

 D=R

Definitionsbereich bei gebrochenrationalen Funktionen

Auch bei gebrochenrationalen Funktionen entspricht der Definitionsbereich grundsätzlich den reellen Zahlen. Allerdings gibt es ein paar Ausnahmen, die man „Definitionslücken“ nennt. Eine gebrochenrationale Funktion erkennst du gut daran, dass sie als Bruch dargestellt wird, der im Nenner ein x hat. Wenn im Nenner eine 0 steht, stößt du allerdings auf ein Problem, denn wie du weißt, dürfen wir durch 0 nicht teilen.

Die Lösung? Wir schließen aus dem Definitionsbereich einfach alle Zahlen aus, die im Nenner eine Null erzeugen würden.

Diese Funktion hat eine Funktionslücke bei x=0. Das ist auch ganz logisch, denn hier dürfen wir für x die Null nicht einsetzen. Wir schreiben also: 

D=R \ {0}

Das bedeutet gesprochen: Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen außer Null.  

Natürlich ist es nicht immer die Null, die wir ausschließen müssen. Vielmehr musst du die Nullstellen des Nenners deiner Funktion herausfinden. 

Beispiel:

f(x)=xx2−9

Hier befindet sich eine Nullstelle des Nenners bei x=3 und eine weitere Nullstelle bei x=–3. Wir schreiben daher:  

D=R \ {−3;3}

Super! Machen wir weiter.

Definitionsbereich der e-Funktion und der Logarithmusfunktion

Die e-Funktion ex und die ln-Funktion (natürlicher Logarithmus) sind Umkehrfunktionen voneinander. Das bedeutet, dass der Definitionsbereich der einen Funktion der Wertebereich der anderen Funktion ist und umgekehrt. Das hilft uns, den Definitionsbereich für den Logarithmus zu verstehen. Denn für die e-Funktion sind alle reellen Zahlen als x-Werte zulässig:

D=R

Allerdings nimmt die e-Funktion nur positive y-Werte an. Dieser Wertebereich ist gleichzeitig der Definitionsbereich der Umkehrfunktion, also der ln-Funktion. Daher wissen wir sofort für die Logarithmusfunktion:

D=R+

Als y-Werte sind hingegen alle reellen Zahlen möglich.

Definitionsbereich von Wurzelfunktionen

Bei Wurzelfunktionen musst du beim Bestimmen des Definitionsbereichs vor allem beachten, dass du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst. Die Null ist hingegen möglich. Somit lautet dein Definitionsbereich für die reine Wurzelfunktion hier grundsätzlich:

D=R+0

Nun kann es aber passieren, dass deine Funktion noch weitere Zahlen nicht zulässt. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

√x3−27

x3−27=0|+27

x3=27

x=3

Für x=0 steht unter deiner Wurzel also die Zahl 0. Dafür ist die Funktion definiert. Sobald du eine Zahl kleiner als 3 einsetzt, erhältst du jedoch unter der Wurzel ein negatives Ergebnis. Somit ist der kleinstmögliche x-Wert für diese Funktion x=3. Wir schreiben:

D={x∈R:x≥3}

Definitionsbereich bei trigonometrischen Funktionen

Der Definitionsbereich für trigonometrische Funktionen wie die Sinus- oder die Cosinus-Funktion ist sehr einfach:

D=R

Beim Tangens ist es ein wenig komplizierter. Die Tangens-Funktion weist nämlich Definitionslücken auf. Hier gilt:

D=R \ {...,−3π2,−π2,π2,3π2,...}

Ausgenommen vom Definitionsbereich sind also die Definitionslücken, für welche die Tangens-Funktion nicht definiert ist.