Lineare Funktionen Steigung – online lernen

Exponentialfunktionen

Form y = a^x

Exponentialfunktionen der Form y = a^x haben im Gegensatz zu den Potenzfunktionen die Variable x im Exponenten stehen.

Dies bewirkt, dass jede Exponentialfunktion durch den Punkt P(0|1) verläuft. Dies kommt daher, da a⁰= 1 ist (für alle Zahlen a, 0).

Die Exponentialfunktionen mit positiven Hochzahlen verlaufen für x < 0 zwischen 0 und 1, für x > 1 ergeben sie Werte > 1.

Parallele zur x-Achse

Eine Parallele zur x-Achse ist eine waagrechte Gerade im Koordinatensystem.

Eine Funktionsgleichung für eine Parallele zur x-Achse hat die Form

y=c;c∈R

c ist dabei eine beliebige Zahl, d.h. alle Punkte im Koordinatensystem, die diesen y-Wert haben, liegen auf dieser Geraden.

Gilt beispielsweise c=3, liegen z.B. die Punkte (−2|3),(0|3) und  (5|3) auf der Geraden.

Auch die x-Achse selbst gehört zu dieser Klasse von Geraden, sie hat die Gleichung y=0.

Lineare Funktionen

Achsenschnittpunkte 

Jede lineare Funktion y=m·x+c hat genau einen Schnittpunkt mit der y-Achse:
den y-Achsenabschnitt oder Ordinatenabschnitt. Man kann ihn einfach aus der Funktionsgleichung ablesen: er ist Sy(0∣c).

Jede lineare Funktion y=m·x+c, die nicht parallel zur x-Achse ist, für die also m≠0 gilt, hat auch genau einen Schnittpunkt mit der x-Achse: die Nullstelle oder der Abszissenabschnitt. Die Nullstelle findet man, indem man in die Funktionsgleichung für y=0 einsetzt bzw. den Funktionsterm mit 0 gleichsetzt und die Gleichung nach x auflöst.

Beispiel:

Eine Gerade mit der Gleichung y=12x+2 schneidet die y-Achse bei (0∣2), da c=2 gilt.

Nullsetzen der Funktionsgleichung liefert
0=12x+2∣−2⇔−2=12x∣⋅2⇔−4=x

Beispielaufgabe:

Gib die Schnittpunkte der Funktion y=3x−6 mit den Koordinatenachsen an.

Lösung:

Den Schnittpunkt mit der y-Achse liest man ab: Sy(0∣−6).

Den Schnittpunkt mit der x-Achse berechnet man:
0=3x−6∣+6⇔6=3x∣:3⇔2=x

Parallele zur y-Achse

Eine Parallele zur y-Achse ist eine senkrechte Gerade im Koordinatensystem.

Eine Gleichung für eine Parallele zur y-Achse hat die Form

x=c;c∈R

c ist dabei eine beliebige Zahl, d.h. alle Punkte im Koordinatensystem, die diesen x-Wert haben, liegen auf dieser Geraden.

Gilt beispielsweise c=3, liegen z.B. die Punkte (3|−5),(3|0) und  (3|7) auf der Geraden.

Auch die y-Achse selbst gehört zu dieser Klasse von Geraden, sie hat die Gleichung x=0.

Beachte: Funktionen ordnen jedem x-Wert maximal einen Funktionswert zu, was hier nicht der Fall ist. Deshalb sind Geraden mit der Gleichung x=c keine Funktionen.

Lineare Funktionen

Schnittpunkte

Wenn zwei lineare Funktionen nicht parallel sind, dann treffen sie sich irgendwo. Diese Stelle nennt man den Schnittpunkt. Man kann ihn entweder aus einer Zeichnung ablesen, das ist aber oft ungenau und unsicher. Oder man kann ihn berechnen. Dazu setzt man die Gleichungen der zwei Funktionen einander gleich. Dann ensteht eine Gleichung, die man nach x umstellen kann. Ein Beispiel demonstriert das. Der Schnittpunkt der Geraden y=2x+5 und y=4x+7 berechnet sich so:

Nun muss man den berechneten Wert noch in eine der zwei Gleichungen einsetzen, um den dazugehörenden y-Wert zu berechnen.

Der Schnittpunkt lautet damit S(−1 | 3 ).

Lineare Funktionen

Steigung

Den Wert m

Die Steigung kann graphisch bestimmt werden, indem man an einer beliebigen Stelle der Geraden ein Steigungsdreieck einzeichnet. Dabei geht man von der Gerade zuerst nach rechts und dann solange entweder nach oben (wenn die Gerade steigt) oder nach unten (wenn die Gerade fällt), bis man wieder auf einem Punkt der Geraden landet. Die Steigung erhält man dann, indem man Länge der senkrechten Linie durch die Länge der waagerechten Linie teilt. Wenn die Gerade fällt, muss das Vorzeichen der Steigung negativ sein.

Im rechts abgebildeten Beispiel hat die rechte Gerade eine Steigung von 2, da man 1 Einheit nach rechts und 2 Einheiten nach oben geht. Die linke Gerade hat eine Steigung von −1, da man 1 Einheit nach rechts und 1 Einheit nach unten geht.

Die Steigung kann auch bestimmt werden, wenn man zwei beliebige Punkte A (xa | ya)

m=ya−ybxa−xb=yb−yaxb−xa

Es ist dabei egal, welchen der beiden Punkte man vorne und welchen hinten einsetzt. Wichtig ist nur, diese nicht zu vermischen.

Beispielaufgabe:

Welche Steigung hat eine Gerade, die durch die Punkte A (−2|−2)

Lösung:
Einsetzen in die Formel liefert m=6−(−2)3−(−2)=85=1,6